10
اختيار متعدّد
الدرس 5 : إحداثيّات منتصف قطعة
\((O,I,J)\) معين في المستوي ، \(A(1\,;\,b)\) و \(B(7\,;\,12)\) . حدّد قيمة \(b\) حتّى تكون النقطة \(K(4\,;\,5)\) منتصف \([AB]\).
💡 مؤشّرالوسيط \(b\) موجود في الترتيب فقط. اشتغل على الترتيبات ، واستعمل الفواصل للتحقّق.
📝 الطريقةالقاعدة (الدرس 5) : \(K\) منتصف \([AB]\) \(\iff x_K=\dfrac{x_A+x_B}{2}\) و \(y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2}\).
- ابدأ بالفاصلة : تحقّق أنّ \(\dfrac{x_A+x_B}{2}\) يساوي فعلا \(x_K\). إن لم يتحقّق فلا حلّ.
- انتقل إلى الترتيب : اكتب \(\dfrac{b+12}{2}=5\).
- اضرب الطرفين في \(2\).
- انقل \(12\) واستخرج \(b\).
🛑 الفخّ : الخيار \(b=-8\) ينتج عن حلّ \(b+12=4\) — أي استعمال الفاصلة \(4\) بدل الترتيب \(5\). انتبه لأيّ إحداثيّة تشتغل.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — التحقّق على الفاصلة :
\(\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+7}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
وفاصلة \(K\) هي \(4\). الشرط محقّق ✔ (لا يتدخّل \(b\) هنا)
المرحلة 2 — المعادلة على الترتيب :
\(y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2}\) إذن \(5=\dfrac{b+12}{2}\)
المرحلة 3 — الحلّ خطوة خطوة :
\(\dfrac{b+12}{2}=5\)
نضرب الطرفين في \(2\) :
\(b+12=10\)
ننقل \(12\) :
\(b=10-12\)
\(b=-2\)
المرحلة 4 — التحقّق النهائي :
مع \(b=-2\) : \(A(1\,;\,-2)\).
منتصف \([AB]=\left(\dfrac{1+7}{2}\,;\,\dfrac{-2+12}{2}\right)=\left(\dfrac{8}{2}\,;\,\dfrac{10}{2}\right)=(4\,;\,5)\)
وهو فعلا \(K\) ✔
\(\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+7}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
وفاصلة \(K\) هي \(4\). الشرط محقّق ✔ (لا يتدخّل \(b\) هنا)
المرحلة 2 — المعادلة على الترتيب :
\(y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2}\) إذن \(5=\dfrac{b+12}{2}\)
المرحلة 3 — الحلّ خطوة خطوة :
\(\dfrac{b+12}{2}=5\)
نضرب الطرفين في \(2\) :
\(b+12=10\)
ننقل \(12\) :
\(b=10-12\)
\(b=-2\)
المرحلة 4 — التحقّق النهائي :
مع \(b=-2\) : \(A(1\,;\,-2)\).
منتصف \([AB]=\left(\dfrac{1+7}{2}\,;\,\dfrac{-2+12}{2}\right)=\left(\dfrac{8}{2}\,;\,\dfrac{10}{2}\right)=(4\,;\,5)\)
وهو فعلا \(K\) ✔
الإجابة السليمة : \(b=-2\) ، وعندئذ \(A(1\,;\,-2)\) ومنتصف \([AB]\) هو \(K(4\,;\,5)\).