5
اختيار متعدّد
الدرس 7 : إثبات أنّ رباعيّا متوازي أضلاع
\((O,I,J)\) معين في المستوي ، \(A(p\,;\,2)\) ، \(B(5\,;\,6)\) ، \(C(9\,;\,4)\) و \(D(3\,;\,0)\) . حدّد قيمة \(p\) حتّى يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع.
💡 مؤشّرابدأ بالقطر الذي لا يحتوي على \(p\) : \([BD]\). احسب منتصفه أوّلا ، فهو عدد معلوم.
📝 الطريقةالقاعدة : \(ABCD\) متوازي أضلاع \(\iff\) منتصف \([AC]\) = منتصف \([BD]\).
- احسب منتصف \([BD]\) : كلّ إحداثيّاته معلومة ، فهو نقطة عدديّة.
- احسب منتصف \([AC]\) : فاصلته ستحتوي على \(p\).
- ساوِ الفاصلتين : تحصل على معادلة في \(p\).
- ساوِ الترتيبين : هذا شرط تحقّق — إذا لم يتحقّق فلا حلّ.
- حلّ المعادلة ثمّ تحقّق.
🛑 الفخّ : تساوي نقطتين معناه تساوي الفاصلتين و الترتيبين معا. لا تكتفِ بواحدة.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — منتصف \([BD]\) (بدون وسيط) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{5+3}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
الترتيب : \(\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{6+0}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
إذن منتصف \([BD]\) هو \((4\,;\,3)\).
المرحلة 2 — منتصف \([AC]\) (فيه الوسيط \(p\)) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{p+9}{2}\)
الترتيب : \(\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
إذن منتصف \([AC]\) هو \(\left(\dfrac{p+9}{2}\,;\,3\right)\).
المرحلة 3 — تساوي الترتيبين (التحقّق) :
\(3=3\) ✔ الشرط على الترتيب محقّق مهما كانت \(p\).
المرحلة 4 — تساوي الفاصلتين (المعادلة) :
\(\dfrac{p+9}{2}=4\)
نضرب الطرفين في \(2\) :
\(p+9=8\)
\(p=8-9\)
\(p=-1\)
المرحلة 5 — التحقّق النهائي :
مع \(p=-1\) : \(A(-1\,;\,2)\).
منتصف \([AC]=\left(\dfrac{-1+9}{2}\,;\,3\right)=\left(\dfrac{8}{2}\,;\,3\right)=(4\,;\,3)\)
منتصف \([BD]=(4\,;\,3)\) — متطابقان ✔
الفاصلة : \(\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{5+3}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
الترتيب : \(\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{6+0}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
إذن منتصف \([BD]\) هو \((4\,;\,3)\).
المرحلة 2 — منتصف \([AC]\) (فيه الوسيط \(p\)) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{p+9}{2}\)
الترتيب : \(\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
إذن منتصف \([AC]\) هو \(\left(\dfrac{p+9}{2}\,;\,3\right)\).
المرحلة 3 — تساوي الترتيبين (التحقّق) :
\(3=3\) ✔ الشرط على الترتيب محقّق مهما كانت \(p\).
المرحلة 4 — تساوي الفاصلتين (المعادلة) :
\(\dfrac{p+9}{2}=4\)
نضرب الطرفين في \(2\) :
\(p+9=8\)
\(p=8-9\)
\(p=-1\)
المرحلة 5 — التحقّق النهائي :
مع \(p=-1\) : \(A(-1\,;\,2)\).
منتصف \([AC]=\left(\dfrac{-1+9}{2}\,;\,3\right)=\left(\dfrac{8}{2}\,;\,3\right)=(4\,;\,3)\)
منتصف \([BD]=(4\,;\,3)\) — متطابقان ✔
الإجابة السليمة : \(p=-1\) ، وعندئذ يكون للقطرين نفس المنتصف \((4\,;\,3)\).