9
اختيار متعدّد
الدرس 7 : إثبات أنّ رباعيّا متوازي أضلاع
\((O,I,J)\) معين في المستوي ، \(A(2\,;\,1)\) ، \(B(6\,;\,3)\) و \(C(7\,;\,8)\) . حدّد إحداثيّات النقطة \(D\) حتّى يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع.
💡 مؤشّرمنتصف \([AC]\) يمكن حسابه فورا. وهذا المنتصف هو نفسه منتصف \([BD]\) — استعمله للرجوع إلى \(D\).
📝 الطريقةالقاعدة : \(ABCD\) متوازي أضلاع \(\iff\) منتصف \([AC]\) = منتصف \([BD]\).
- احسب منتصف \([AC]\) : نسمّيه \(K\).
- اكتب أنّ \(K\) هو أيضا منتصف \([BD]\).
- من صيغة المنتصف : \(x_K=\dfrac{x_B+x_D}{2}\) ⟹ \(x_D=2x_K-x_B\).
- وبالمثل : \(y_D=2y_K-y_B\).
- تحقّق بإعادة حساب منتصف \([BD]\).
🛑 الفخّ : الخيار \((11\,;\,10)\) ناتج عن جمع \(B+C-A\) أو ما شابه. اتبع الطريقة ولا تخمّن.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — منتصف \([AC]\) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+7}{2}=\dfrac{9}{2}=4{,}5\)
الترتيب : \(\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1+8}{2}=\dfrac{9}{2}=4{,}5\)
نسمّي هذه النقطة \(K(4{,}5\,;\,4{,}5)\).
المرحلة 2 — \(K\) هو أيضا منتصف \([BD]\) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_B+x_D}{2}=4{,}5\)
نضرب في \(2\) : \(x_B+x_D=9\)
\(6+x_D=9\)
\(x_D=9-6=3\)
الترتيب : \(\dfrac{y_B+y_D}{2}=4{,}5\)
نضرب في \(2\) : \(y_B+y_D=9\)
\(3+y_D=9\)
\(y_D=9-3=6\)
المرحلة 3 — التحقّق :
مع \(D(3\,;\,6)\) : منتصف \([BD]=\left(\dfrac{6+3}{2}\,;\,\dfrac{3+6}{2}\right)=\left(4{,}5\,;\,4{,}5\right)\)
وهو نفس منتصف \([AC]\) ✔
الفاصلة : \(\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+7}{2}=\dfrac{9}{2}=4{,}5\)
الترتيب : \(\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1+8}{2}=\dfrac{9}{2}=4{,}5\)
نسمّي هذه النقطة \(K(4{,}5\,;\,4{,}5)\).
المرحلة 2 — \(K\) هو أيضا منتصف \([BD]\) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_B+x_D}{2}=4{,}5\)
نضرب في \(2\) : \(x_B+x_D=9\)
\(6+x_D=9\)
\(x_D=9-6=3\)
الترتيب : \(\dfrac{y_B+y_D}{2}=4{,}5\)
نضرب في \(2\) : \(y_B+y_D=9\)
\(3+y_D=9\)
\(y_D=9-3=6\)
المرحلة 3 — التحقّق :
مع \(D(3\,;\,6)\) : منتصف \([BD]=\left(\dfrac{6+3}{2}\,;\,\dfrac{3+6}{2}\right)=\left(4{,}5\,;\,4{,}5\right)\)
وهو نفس منتصف \([AC]\) ✔
الإجابة السليمة : \(D(3\,;\,6)\) ، والمنتصف المشترك للقطرين هو \(\left(4{,}5\,;\,4{,}5\right)\).