1
صواب / خطأ
الدرس 7 : إثبات أنّ رباعيّا متوازي أضلاع
\((O,I,J)\) معين في المستوي ، \(A(1\,;\,3)\) ، \(B(4\,;\,7)\) ، \(C(6\,;\,4)\) و \(D(3\,;\,0)\) . الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
💡 مؤشّرفي متوازي الأضلاع ، القطران \([AC]\) و \([BD]\) لهما نفس المنتصف. احسب المنتصفين ثمّ قارن.
📝 الطريقةالقاعدة : \(ABCD\) متوازي أضلاع \(\iff\) منتصف \([AC]\) = منتصف \([BD]\).
- اكتب صيغة المنتصف : منتصف \([MN]=\left(\dfrac{x_M+x_N}{2}\,;\,\dfrac{y_M+y_N}{2}\right)\).
- احسب منتصف القطر الأوّل \([AC]\) : اجمع فاصلتي \(A\) و \(C\) واقسم على \(2\) ، ثمّ نفس الشيء للترتيبين.
- احسب منتصف القطر الثاني \([BD]\) بنفس الطريقة.
- قارن الزوجين : إذا تطابقا فالجواب « صواب ».
🛑 الفخّ : القطران هما \([AC]\) و \([BD]\) — أي الحرف الأوّل مع الثالث ، والثاني مع الرابع. كثيرون يحسبون \([AB]\) و \([CD]\) وهما ضلعان لا قطران.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — منتصف القطر \([AC]\) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+6}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
الترتيب : \(\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{3+4}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
إذن منتصف \([AC]\) هو \(\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)\).
المرحلة 2 — منتصف القطر \([BD]\) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
الترتيب : \(\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{7+0}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
إذن منتصف \([BD]\) هو \(\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)\).
المرحلة 3 — المقارنة :
المنتصفان متطابقان : \(\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)=\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)\).
القطران لهما نفس المنتصف ، إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع.
الفاصلة : \(\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+6}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
الترتيب : \(\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{3+4}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
إذن منتصف \([AC]\) هو \(\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)\).
المرحلة 2 — منتصف القطر \([BD]\) :
الفاصلة : \(\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
الترتيب : \(\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{7+0}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5\)
إذن منتصف \([BD]\) هو \(\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)\).
المرحلة 3 — المقارنة :
المنتصفان متطابقان : \(\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)=\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)\).
القطران لهما نفس المنتصف ، إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع.
الإجابة السليمة : العبارة صواب : \(ABCD\) متوازي أضلاع لأنّ منتصف \([AC]\) = منتصف \([BD]\) = \(\left(3{,}5\,;\,3{,}5\right)\).