10
اختيار متعدّد
الدرس 4 : البعد بين نقطتين
\((O,I,J)\) معين متعامد ومتقايس \((OI=OJ=1)\) ، و \(A(0\,;\,0)\) ، \(B(4\,;\,0)\) و \(C(0\,;\,a)\) حيث \(a>0\) . حدّد قيمة \(a\) حتّى تكون مساحة المثلّث \(ABC\) تساوي \(10\).
💡 مؤشّرالمثلّث قائم في \(A\) : الضلعان القائمان محمولان على المحورين. عبّر عن المساحة بدلالة \(a\) ثمّ حلّ.
📝 الطريقةالقاعدة : مساحة المثلّث القائم \(=\dfrac{\text{ضلع قائم}\times\text{ضلع قائم}}{2}\).
- \(B\in(OI)\) و \(C\in(OJ)\) والمعين متعامد ⟹ المثلّث قائم في \(A=O\).
- احسب \(AB\) (عدد معلوم).
- عبّر عن \(AC\) بدلالة \(a\) : بما أنّ \(a>0\) فإنّ \(\left|a\right|=a\).
- اكتب المساحة بدلالة \(a\) ثمّ ساوِها بـ \(10\).
- حلّ المعادلة وتحقّق.
🛑 لماذا الشرط \(a>0\) ؟ بدونه لكان \(\left|a\right|=5\) يعطي حلّين : \(a=5\) و \(a=-5\) (رأس فوق المحور أو تحته ، بنفس المساحة). الشرط \(a>0\) يجعل الحلّ وحيدا.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — الضلع القائم \([AB]\) :
\(A(0\,;\,0)\) و \(B(4\,;\,0)\) : نفس الترتيب ⟹ أفقيّة
\(AB=\left|4-0\right|\times OI=4\)
المرحلة 2 — الضلع القائم \([AC]\) بدلالة \(a\) :
\(A(0\,;\,0)\) و \(C(0\,;\,a)\) : نفس الفاصلة ⟹ عموديّة
\(AC=\left|a-0\right|\times OJ=\left|a\right|\)
وبما أنّ \(a>0\) فإنّ \(\left|a\right|=a\) ، إذن \(AC=a\).
المرحلة 3 — كتابة المساحة :
\(\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{4\times a}{2}=2a\)
المرحلة 4 — حلّ المعادلة :
\(2a=10\)
\(a=\dfrac{10}{2}\)
\(a=5\)
المرحلة 5 — التحقّق :
مع \(a=5\) : \(C(0\,;\,5)\) ، \(AC=5\)
\(\mathcal{A}=\dfrac{4\times 5}{2}=\dfrac{20}{2}=10\) ✔
\(A(0\,;\,0)\) و \(B(4\,;\,0)\) : نفس الترتيب ⟹ أفقيّة
\(AB=\left|4-0\right|\times OI=4\)
المرحلة 2 — الضلع القائم \([AC]\) بدلالة \(a\) :
\(A(0\,;\,0)\) و \(C(0\,;\,a)\) : نفس الفاصلة ⟹ عموديّة
\(AC=\left|a-0\right|\times OJ=\left|a\right|\)
وبما أنّ \(a>0\) فإنّ \(\left|a\right|=a\) ، إذن \(AC=a\).
المرحلة 3 — كتابة المساحة :
\(\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{4\times a}{2}=2a\)
المرحلة 4 — حلّ المعادلة :
\(2a=10\)
\(a=\dfrac{10}{2}\)
\(a=5\)
المرحلة 5 — التحقّق :
مع \(a=5\) : \(C(0\,;\,5)\) ، \(AC=5\)
\(\mathcal{A}=\dfrac{4\times 5}{2}=\dfrac{20}{2}=10\) ✔
الإجابة السليمة : \(a=5\) ، وعندئذ \(C(0\,;\,5)\) ومساحة المثلّث تساوي \(10\).