2
اختيار متعدّد
الدرس 4 : البعد بين نقطتين
\((O,I,J)\) معين متعامد ومتقايس \((OI=OJ=1)\) ، و \(A(0\,;\,0)\) ، \(B(4\,;\,0)\) و \(C(0\,;\,3)\) . أحسب مساحة المثلّث \(ABC\).
💡 مؤشّرأين تقع \(B\) ؟ وأين تقع \(C\) ؟ لاحظ أنّ \([AB]\) على أحد المحورين و \([AC]\) على الآخر.
📝 الطريقةالقاعدة : مساحة المثلّث القائم \(=\dfrac{\text{الضلع القائم الأوّل}\times\text{الضلع القائم الثاني}}{2}\).
- لاحظ أنّ \(A\) هي الأصل \(O\).
- \(B(4\,;\,0)\) : ترتيبها معدوم ⟹ \(B\) على \((OI)\) ⟹ \([AB]\) محمولة على محور الفواصل.
- \(C(0\,;\,3)\) : فاصلتها معدومة ⟹ \(C\) على \((OJ)\) ⟹ \([AC]\) محمولة على محور التراتيب.
- المعين متعامد ⟹ المحوران متعامدان ⟹ المثلّث قائم في \(A\).
- احسب الضلعين ثمّ طبّق الصيغة.
🛑 الفخّ : نسيان القسمة على \(2\) فتكتب \(12\). \(12\) هي مساحة المستطيل ، والمثلّث نصفه.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — تحديد الزاوية القائمة :
\(A(0\,;\,0)=O\) ، \(B(4\,;\,0)\in(OI)\) ، \(C(0\,;\,3)\in(OJ)\).
المعين متعامد ، إذن \((OI)\perp(OJ)\) ⟹ المثلّث \(ABC\) قائم في \(A\).
المرحلة 2 — الضلع القائم \([AB]\) :
نفس الترتيب \((0=0)\) ⟹ أفقيّة :
\(AB=\left|4-0\right|\times OI=4\)
المرحلة 3 — الضلع القائم \([AC]\) :
نفس الفاصلة \((0=0)\) ⟹ عموديّة :
\(AC=\left|3-0\right|\times OJ=3\)
المرحلة 4 — المساحة :
\(\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}\)
\(\mathcal{A}=\dfrac{4\times 3}{2}\)
\(\mathcal{A}=\dfrac{12}{2}\)
\(\mathcal{A}=6\)
\(A(0\,;\,0)=O\) ، \(B(4\,;\,0)\in(OI)\) ، \(C(0\,;\,3)\in(OJ)\).
المعين متعامد ، إذن \((OI)\perp(OJ)\) ⟹ المثلّث \(ABC\) قائم في \(A\).
المرحلة 2 — الضلع القائم \([AB]\) :
نفس الترتيب \((0=0)\) ⟹ أفقيّة :
\(AB=\left|4-0\right|\times OI=4\)
المرحلة 3 — الضلع القائم \([AC]\) :
نفس الفاصلة \((0=0)\) ⟹ عموديّة :
\(AC=\left|3-0\right|\times OJ=3\)
المرحلة 4 — المساحة :
\(\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}\)
\(\mathcal{A}=\dfrac{4\times 3}{2}\)
\(\mathcal{A}=\dfrac{12}{2}\)
\(\mathcal{A}=6\)
الإجابة السليمة : مساحة المثلّث \(ABC\) تساوي \(6\) وحدات مساحة.