1
اختيار متعدّد
الدرس 4 : البعد بين نقطتين
\((O,I,J)\) معين متعامد ومتقايس \((OI=OJ=1)\) ، و \(A(1\,;\,2)\) ، \(B(5\,;\,2)\) ، \(C(7\,;\,5)\) و \(D(3\,;\,5)\) . \(ABCD\) متوازي أضلاع. أحسب مساحته.
💡 مؤشّرالقاعدة \([AB]\) أفقيّة : اقرأ طولها من فرق الفواصل. أمّا الارتفاع فهو الفرق بين ترتيبي القاعدة والضلع المقابل.
📝 الطريقةالقاعدة : مساحة متوازي الأضلاع \(=\) القاعدة \(\times\) الارتفاع.
- اختر قاعدة موازية لأحد المحورين : \([AB]\) لأنّ \(y_A=y_B=2\).
- احسب طولها بفرق الفواصل (الدرس 4) : \(AB=\left|x_B-x_A\right|\times OI\).
- الارتفاع هو المسافة العموديّة بين المستقيم \((AB)\) والمستقيم \((DC)\) : فرق الترتيبين.
- اضرب.
🛑 الفخّ : الضلع \([BC]\) مائل — لا تحاول حساب طوله ، ولا تستعمله كارتفاع. الارتفاع يُقاس على اتّجاه متعامد مع القاعدة ، وهو هنا فرق التراتيب فقط.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — القاعدة \([AB]\) :
\(A(1\,;\,2)\) و \(B(5\,;\,2)\) : الترتيبان متساويان \((2=2)\) ⟹ القطعة أفقيّة ✔
\(AB=\left|x_B-x_A\right|\times OI=\left|5-1\right|\times 1=4\)
المرحلة 2 — الارتفاع :
الضلع المقابل \([DC]\) على الترتيب \(5\) : \(D(3\,;\,5)\) و \(C(7\,;\,5)\).
المسافة العموديّة بين المستقيمين :
\(h=\left|5-2\right|\times OJ=3\times 1=3\)
المرحلة 3 — المساحة :
\(\mathcal{A}=\text{القاعدة}\times\text{الارتفاع}\)
\(\mathcal{A}=4\times 3\)
\(\mathcal{A}=12\)
تحقّق سريع : \([DC]\) طولها \(\left|7-3\right|=4\) أيضا — وهذا طبيعي في متوازي الأضلاع : الضلعان المتقابلان متقايسان ✔
\(A(1\,;\,2)\) و \(B(5\,;\,2)\) : الترتيبان متساويان \((2=2)\) ⟹ القطعة أفقيّة ✔
\(AB=\left|x_B-x_A\right|\times OI=\left|5-1\right|\times 1=4\)
المرحلة 2 — الارتفاع :
الضلع المقابل \([DC]\) على الترتيب \(5\) : \(D(3\,;\,5)\) و \(C(7\,;\,5)\).
المسافة العموديّة بين المستقيمين :
\(h=\left|5-2\right|\times OJ=3\times 1=3\)
المرحلة 3 — المساحة :
\(\mathcal{A}=\text{القاعدة}\times\text{الارتفاع}\)
\(\mathcal{A}=4\times 3\)
\(\mathcal{A}=12\)
تحقّق سريع : \([DC]\) طولها \(\left|7-3\right|=4\) أيضا — وهذا طبيعي في متوازي الأضلاع : الضلعان المتقابلان متقايسان ✔
الإجابة السليمة : مساحة \(ABCD\) تساوي \(12\) وحدة مساحة.