4
اختيار متعدّد
الدرس 4 : البعد بين نقطتين
\((O,I,J)\) معين متعامد ومتقايس \((OI=OJ=1)\) ، و \(M(m\,;\,0)\) ، \(N(m+2\,;\,0)\) و \(P(0\,;\,4)\) حيث \(m\) عدد حقيقي. ماذا يمكن أن نقول عن مساحة المثلّث \(MNP\) ؟
💡 مؤشّراحسب القاعدة \(MN\) : هل يبقى فيها \(m\) بعد الاختزال ؟ ثمّ فكّر في الارتفاع انطلاقا من \(P\).
📝 الطريقةالفكرة : عندما تنزلق قاعدة مثلّث على محور دون أن يتغيّر طولها ، ودون أن يتغيّر ارتفاع الرأس ، فالمساحة ثابتة.
- احسب \(MN\) بفرق الفواصل واختصر : لاحظ ماذا يحدث لـ \(m\).
- لاحظ أنّ \(M\) و \(N\) على محور الفواصل \((OI)\) (ترتيبهما معدوم).
- الارتفاع من \(P\) إلى المستقيم \((MN)=(OI)\) هو ترتيب \(P\) بالقيمة المطلقة.
- طبّق صيغة المساحة واستنتج.
🛑 الفخّ : السؤال لا يطلب حلّ معادلة. لا تبحث عن قيمة لـ \(m\) : الحساب نفسه سيُظهر أنّ \(m\) يختفي.
✅ الحل الكاملالمرحلة 1 — القاعدة \([MN]\) :
\(M(m\,;\,0)\) و \(N(m+2\,;\,0)\) : نفس الترتيب \((0=0)\) ⟹ أفقيّة ✔
\(MN=\left|x_N-x_M\right|\times OI=\left|(m+2)-m\right|\)
نفكّ القوسين : \((m+2)-m=m+2-m=2\)
\(MN=\left|2\right|=2\)
لاحظ : الوسيط \(m\) اختفى — لأنّ النقطتين تنزلقان معا بنفس المقدار.
المرحلة 2 — الارتفاع :
\(M\) و \(N\) ترتيبهما معدوم ⟹ المستقيم \((MN)\) هو محور الفواصل \((OI)\).
الارتفاع من \(P(0\,;\,4)\) إلى \((OI)\) هو \(\left|y_P\right|=\left|4\right|=4\).
وهو أيضا لا يتعلّق بـ \(m\).
المرحلة 3 — المساحة :
\(\mathcal{A}=\dfrac{MN\times h}{2}=\dfrac{2\times 4}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
المرحلة 4 — الاستنتاج :
لا \(MN\) ولا الارتفاع يتعلّقان بـ \(m\) ، إذن المساحة ثابتة وتساوي \(4\) مهما كانت قيمة \(m\).
تحقّق بمثالين :
\(m=0\) : \(M(0;0)\) ، \(N(2;0)\) ⟹ \(MN=2\) ، \(\mathcal{A}=4\) ✔
\(m=7\) : \(M(7;0)\) ، \(N(9;0)\) ⟹ \(MN=2\) ، \(\mathcal{A}=4\) ✔
\(M(m\,;\,0)\) و \(N(m+2\,;\,0)\) : نفس الترتيب \((0=0)\) ⟹ أفقيّة ✔
\(MN=\left|x_N-x_M\right|\times OI=\left|(m+2)-m\right|\)
نفكّ القوسين : \((m+2)-m=m+2-m=2\)
\(MN=\left|2\right|=2\)
لاحظ : الوسيط \(m\) اختفى — لأنّ النقطتين تنزلقان معا بنفس المقدار.
المرحلة 2 — الارتفاع :
\(M\) و \(N\) ترتيبهما معدوم ⟹ المستقيم \((MN)\) هو محور الفواصل \((OI)\).
الارتفاع من \(P(0\,;\,4)\) إلى \((OI)\) هو \(\left|y_P\right|=\left|4\right|=4\).
وهو أيضا لا يتعلّق بـ \(m\).
المرحلة 3 — المساحة :
\(\mathcal{A}=\dfrac{MN\times h}{2}=\dfrac{2\times 4}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)
المرحلة 4 — الاستنتاج :
لا \(MN\) ولا الارتفاع يتعلّقان بـ \(m\) ، إذن المساحة ثابتة وتساوي \(4\) مهما كانت قيمة \(m\).
تحقّق بمثالين :
\(m=0\) : \(M(0;0)\) ، \(N(2;0)\) ⟹ \(MN=2\) ، \(\mathcal{A}=4\) ✔
\(m=7\) : \(M(7;0)\) ، \(N(9;0)\) ⟹ \(MN=2\) ، \(\mathcal{A}=4\) ✔
الإجابة السليمة : المساحة تساوي \(4\) وحدات مساحة مهما كانت قيمة \(m\) : القاعدة تنزلق دون أن يتغيّر طولها ولا ارتفاع الرأس.