التعيين في المستوي — التمرين عدد 30

نصّ التمرين\((O,I,J)\) معين في المستوي حيث \(OI=OJ=2\,\text{cm}\) و \((OI)\perp(OJ)\) ، والنقاط \(A(2\,;\,0)\) ، \(B(-1\,;\,-3)\) و \(C(-2\,;\,1)\).

1-أ

السؤال 1 من الصفحة

عيّن النقاط \(A\) ، \(B\) و \(C\).

💡 مؤشّر\(A\) ترتيبها معدوم : أين تقع بالضرورة ؟

📝 الطريقةترتيب معدوم \(\Rightarrow\) النقطة على محور الفواصل \((OI)\). والوحدة \(2\,\text{cm}\).

✅ الحل الكامل\(A(2\,;\,0)\) على \((OI)\) ، على بعد وحدتين \((4\,\text{cm})\) يمين \(O\).
\(B(-1\,;\,-3)\) في الربع الثالث و \(C(-2\,;\,1)\) في الربع الثاني.

الجواب : \(A\in(OI)\)

1-ب

السؤال 2 من الصفحة

أوجد إحداثيّات النقطة \(E\) منتصف \([AC]\).

💡 مؤشّرصيغة المنتصف. لاحظ الفاصلتين \(2\) و \(-2\).

📝 الطريقة\(x_E=\dfrac{x_A+x_C}{2}\) و \(y_E=\dfrac{y_A+y_C}{2}\).

✅ الحل الكامل\(x_E=\dfrac{2+(-2)}{2}=0\) و \(y_E=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac12\).
إذن \(E\left(0\,;\,\dfrac12\right)\) ، وهي نقطة من محور التراتيب \((OJ)\).

الجواب : \(E\left(0\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\)

1-ج

السؤال 3 من الصفحة

ابن النقطة \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(E\) ثمّ أوجد إحداثيّات \(D\).

💡 مؤشّرالمركز هنا هو \(E\) وليس \(O\) : استعمل \(D=2E-B\).

📝 الطريقة\(E\) منتصف \([BD]\) إذن \(x_D=2x_E-x_B\) و \(y_D=2y_E-y_B\).

✅ الحل الكامل\(x_D=2\times 0-(-1)=1\) و \(y_D=2\times\dfrac12-(-3)=1+3=4\).
إذن \(D(1\,;\,4)\).
تحقّق : منتصف \([BD]\) هو \(\left(\dfrac{-1+1}{2}\,;\,\dfrac{-3+4}{2}\right)=\left(0\,;\,\dfrac12\right)=E\) ✔

الجواب : \(D(1\,;\,4)\)

1-د

السؤال 4 من الصفحة

بيّن أنّ الرباعي \(ABCD\) متوازي الأضلاع.

💡 مؤشّرالقطران هما \([AC]\) و \([BD]\) — وقد حسبت منتصفيهما في السؤالين السابقين.

📝 الطريقةيكفي أن يكون للقطرين نفس المنتصف.

✅ الحل الكاملمنتصف \([AC]\) هو \(E\left(0\,;\,\dfrac12\right)\) (السؤال 1-ب).
ومنتصف \([BD]\) هو \(E\) أيضا ، لأنّ \(D\) بُنيت لتكون مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(E\) (السؤال 1-ج).
للقطرين نفس المنتصف ، إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(E\).

الجواب : \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(E\)

2-أ

السؤال 5 من الصفحة

لتكن \(H\) المسقط العمودي للنقطة \(B\) على \((OI)\) . احسب البعد \(AH\).

💡 مؤشّرالمسقط العمودي على \((OI)\) يُلغي الترتيب ويُبقي الفاصلة.

📝 الطريقة\(H\) لها نفس فاصلة \(B\) وترتيبها معدوم : \(H(x_B\,;\,0)\).
ثمّ \(A\) و \(H\) كلتاهما على \((OI)\) ، فالبعد يُحسب بفرق الفاصلتين \(\times\,OI\).

✅ الحل الكامل\(H(-1\,;\,0)\).
\(AH=\left|x_A-x_H\right|\times OI=\left|2-(-1)\right|\times 2=3\times 2=6\,\text{cm}\).

الجواب : \(H(-1\,;\,0)\) و \(AH=6\,\text{cm}\)

2-ب

السؤال 6 من الصفحة

أوجد فاصلة النقطة \(K\) حيث \(K\in(OI)\) و \(x_K<0\) و \(IK=\dfrac72\).

💡 مؤشّرالمعادلة \(IK=\dfrac72\) لها حلّان ؛ الشرط \(x_K<0\) يختار بينهما. ولا تنسَ أنّ \(x_I=1\).

📝 الطريقة\(K\in(OI)\) و \(I(1\,;\,0)\) ، إذن \(\left|x_K-1\right|=\dfrac72\).
ومنه \(x_K-1=\dfrac72\) أو \(x_K-1=-\dfrac72\).

✅ الحل الكاملالحلّان : \(x_K=1+\dfrac72=\dfrac92\) أو \(x_K=1-\dfrac72=-\dfrac52\).
الشرط \(x_K<0\) يستبعد \(\dfrac92\) ، إذن \(x_K=-\dfrac52\).
تحقّق : \(\left|-\dfrac52-1\right|=\dfrac72\) ✔

الجواب : \(x_K=-\dfrac{5}{2}\)

2-ج

السؤال 7 من الصفحة

أوجد مجموعة النقاط \(\Delta\) : \(M(x\,;\,y)\) حيث \(y=0\) و \(-\dfrac52\le x\le -1\).

💡 مؤشّر\(y=0\) يضع كلّ النقاط على \((OI)\). وما هما النقطتان اللتان فاصلتاهما \(-\dfrac52\) و \(-1\) ؟

📝 الطريقة\(-\dfrac52=x_K\) (السؤال 2-ب) و \(-1=x_H\) (السؤال 2-أ) ، وكلتاهما على \((OI)\).

✅ الحل الكاملالمجموعة هي الجزء من \((OI)\) الممتدّ من \(K\) إلى \(H\) مع الطرفين ، أي القطعة \([KH]\).
طولها \(\left|-1+\dfrac52\right|\times 2=\dfrac32\times 2=3\,\text{cm}\).

الجواب : \(\Delta=[KH]\)

Devoirati — المصدر : جوهر سويسي · riadhyet.com (2018-2019) · الفهرس