الخطوة 1: تبسيط الجذور. \( \sqrt{18} = \sqrt{9\times2} = 3\sqrt{2} \) و \( \sqrt{8} = \sqrt{4\times2} = 2\sqrt{2} \).
إذن \( A(-1;3\sqrt{2}) \) و \( B(-6;2\sqrt{2}-1) \) و \( C(-5;-\sqrt{2}) \) و \( J(0;1) \).
الفكرة: نبيّن أنّ للقطعتين \([AC]\) و \([BJ]\) نفس المنتصف، فيكون الرباعي \(ABCJ\) متوازي أضلاع ومنه \( (AJ) \parallel (BC) \).
الخطوة 2: منتصف \([AC]\).
\( x = \dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{-1+(-5)}{2} = -3 \) و
\( y = \dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \).
إذن منتصف \([AC]\) هو \( K(-3;\sqrt{2}) \).
الخطوة 3: منتصف \([BJ]\).
\( x = \dfrac{x_B+x_J}{2} = \dfrac{-6+0}{2} = -3 \) و
\( y = \dfrac{y_B+y_J}{2} = \dfrac{(2\sqrt{2}-1)+1}{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \).
إذن منتصف \([BJ]\) هو \( K(-3;\sqrt{2}) \) أيضا.
الخطوة 4: قطرا الرباعي \(ABCJ\) لهما نفس المنتصف \(K\)، إذن \(ABCJ\) متوازي أضلاع.
ومنه ضلعاه المتقابلان محمولان على مستقيمين متوازيين: \( (BC) \parallel (AJ) \).
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الخطوة 1: تبسيط العدد الأوّل. \( \dfrac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{6}+2)\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12}+2\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
الخطوة 2: تبسيط العدد الثاني (بضرب البسط والمقام في المرافق \( \sqrt{6}+2 \)): \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-2} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6})^2-2^2} = \dfrac{\sqrt{12}+2\sqrt{2}}{6-4} = \dfrac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
الخطوة 3: العددان يساويان نفس القيمة \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \)، إذن هما متساويان.
(ليسا متقابلين لأنّهما موجبان، وليسا مقلوبين لأنّ جداءهما \( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = 5+2\sqrt{6} \neq 1 \).)
الإجابة الصحيحة هي : ج) متساويان
الترميز: نضع \( AB = a \) (ضلع \(ABCD\)) و \( DE = b \) (ضلع \(DEFG\)).
الخطوة 1: بما أنّ الدائرة مركزها \(A\) وتمرّ من \(C\) و \(E\) فإنّ \( AE = AC \)، ومنه \( AE^2 = AC^2 \).
الخطوة 2: في المربّع \(ABCD\)، المثلّث \(ADC\) قائم الزاوية في \(D\) و \(AD = DC = a\)، إذن حسب مبرهنة فيتاغور: \( AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).
الخطوة 3: بما أنّ \(C\) و \(D\) و \(E\) على استقامة واحدة و \( (AD) \perp (DC) \) فإنّ المثلّث \(ADE\) قائم الزاوية في \(D\)، ومنه: \( AE^2 = AD^2 + DE^2 = a^2 + b^2 \).
الخطوة 4: بالمساواة: \( a^2 + b^2 = 2a^2 \) إذن \( b^2 = a^2 \) أي \( b = a \).
وبالتالي مساحة \(DEFG\) \(= b^2 = a^2 = \) مساحة \(ABCD\): المساحتان متساويتان وليست إحداهما ثلاثة أضعاف الأخرى.
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
الفكرة: لمقارنة عبارتين ندرس إشارة فرقهما.
الخطوة 1: \( (a+b)^2 - 4ab = a^2+2ab+b^2-4ab = a^2-2ab+b^2 \).
الخطوة 2: \( a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 \) وهو مربّع، إذن \( (a+b)^2 - 4ab \ge 0 \) مهما يكن \(a\) و \(b\).
الخطوة 3: ومنه \( (a+b)^2 \ge 4ab \). (المساواة تتحقّق فقط عندما \( a=b \)، لذلك الإجابة "أ" خاطئة.)
الإجابة الصحيحة هي : ب) \( (a+b)^2 \ge 4ab \)
الخطوة 1: رفع الجذر. نعلم أنّ \( \sqrt{t^2} = |t| \).
ولدينا \( \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4} > 5 \) إذن \( \dfrac{5}{2} > \sqrt{5} \) ومنه \( \sqrt{5}-\dfrac{5}{2} < 0 \).
إذن \( \sqrt{\left(\sqrt{5}-\dfrac{5}{2}\right)^2} = \dfrac{5}{2}-\sqrt{5} \).
الخطوة 2: التبسيط. \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)، إذن العبارة تساوي: \( \dfrac{5}{2}-\sqrt{5} - \sqrt{5} + 5\sqrt{2} = \dfrac{5}{2} - 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2} \).
الخطوة 3: البرهان بالخُلف. نفترض أنّ هذا العدد كسري \(q\). عندئذ \( 5\sqrt{2} - 2\sqrt{5} = q - \dfrac{5}{2} = r \) عدد كسري.
بتربيع الطرفين: \( 50 + 20 - 2\times 5\sqrt{2}\times 2\sqrt{5} = r^2 \) أي \( 70 - 20\sqrt{10} = r^2 \)، ومنه \( \sqrt{10} = \dfrac{70-r^2}{20} \) عدد كسري.
وهذا يناقض كون \( \sqrt{10} \) عددا أصمّ.
إذن العدد ليس كسريّا.
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الخطوة 1: \([BE]\) و \([CD]\) متوسّطان في المثلّث \(ABC\) (لأنّ \(E\) منتصف \([AC]\) و \(D\) منتصف \([AB]\))، إذن \(O\) هي مركز ثقل المثلّث \(ABC\).
الخطوة 2: مساحة المثلّث. المثلّث قائم في \(A\) إذن مساحة \(ABC\) \( = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{8\times 6}{2} = 24\,\text{cm}^2 \).
الخطوة 3: مركز الثقل يقسّم المثلّث إلى ثلاثة مثلّثات متساوية المساحة: مساحة \(AOB\) = مساحة \(AOC\) \( = \dfrac{24}{3} = 8\,\text{cm}^2 \).
الخطوة 4: في المثلّث \(AOB\)، \([OD]\) متوسّط (\(D\) منتصف \([AB]\)) والمتوسّط يقسّم المثلّث إلى مثلّثين متساويي المساحة:
مساحة \(ADO\) \( = \dfrac{8}{2} = 4\,\text{cm}^2 \).
وبنفس الطريقة في المثلّث \(AOC\): مساحة \(AEO\) \( = \dfrac{8}{2} = 4\,\text{cm}^2 \).
الخطوة 5: مساحة \(ADOE\) = مساحة \(ADO\) + مساحة \(AEO\) \( = 4+4 = 8\,\text{cm}^2 \).
الإجابة الصحيحة هي : أ) \( 8\,\text{cm}^2 \)
الخطوة 1: تفكيك العدد الأوّل.
\( 32^{403} = (2^5)^{403} = 2^{2015} \) و \( 8^{673} = (2^3)^{673} = 2^{2019} \).
\( 32^{403}-8^{673} = 2^{2015} - 2^{2019} = 2^{2015}\,(1 - 2^4) = -15 \times 2^{2015} \).
(القاسم المشترك الأكبر يُحسب بالقيم المطلقة: \( |{-15 \times 2^{2015}}| = 3 \times 5 \times 2^{2015} \).)
الخطوة 2: تفكيك العدد الثاني. \( 2\times 3^{2018} + 3^{2019} = 3^{2018}(2+3) = 5 \times 3^{2018} \).
الخطوة 3: العوامل الأوّلية المشتركة.
• العامل 2: موجود في الأوّل فقط.
• العامل 3: أُسّه 1 في الأوّل و 2018 في الثاني، نأخذ الأصغر: \(3^1\).
• العامل 5: أُسّه 1 في كليهما: \(5^1\).
النتيجة: القاسم المشترك الأكبر \( = 3 \times 5 = 15 \).
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الخطوة 1: بالنسبة للزاوية \( \widehat{ABC} \): \([AB]\) هو الضلع المجاور و \([BC]\) هو الوتر.
الخطوة 2: \( \cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \).
الخطوة 3: الزاوية الحادّة التي جيب تمامها \( \dfrac{1}{2} \) هي \( 60^\circ \) (قيمة مضبوطة من جدول الزوايا الشهيرة).
تحقّق: \( AC = \sqrt{36-9} = 3\sqrt{3} \) و \( \tan(60^\circ) = \dfrac{AC}{AB} = \sqrt{3} \) ✔
الإجابة الصحيحة هي : أ) \( \widehat{ABC} = 60^\circ \)