الخطوة 1: \(I\) منتصف \([CB]\) و \(J\) منتصف \([CA]\) إذن \( CI = \dfrac{1}{2}CB \) و \( CJ = \dfrac{1}{2}CA \)، والزاوية \( \widehat{ICJ} \) مشتركة بين المثلّثين \(CIJ\) و \(CBA\).
الخطوة 2: المثلّث \(CIJ\) هو إذن تصغير للمثلّث \(CBA\) بالنسبة \( \dfrac{1}{2} \)، والمساحات تتناسب مع مربّع النسبة: مساحة المثلّث \(CIJ\) تساوي \( \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \) من مساحة المثلّث \(CBA\).
الخطوة 3: مساحة \(CIJ\) \( = \dfrac{1}{4} \times 2^{20} = 2^{-2} \times 2^{20} = 2^{18}\,\text{cm}^2 \).
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الخطوة 1: تبسيط الجذرين. \( \sqrt{63} = \sqrt{9\times7} = 3\sqrt{7} \) و \( \sqrt{28} = \sqrt{4\times7} = 2\sqrt{7} \).
الخطوة 2: \( \dfrac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = \dfrac{3}{2} \).
الخطوة 3: طبيعة العدد. \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{10} = 1{,}5 \): كتابته العشرية منتهية، إذن هو عدد عشري (وهو كسري أيضا لكنّه ليس "كسريّا غير عشري").
الإجابة الصحيحة هي : ب) عشري
الخطوة 1: ننشر باستعمال المتطابقة \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \): \( (\sqrt{5}-1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5} \).
الخطوة 2: لو كان \( 6-2\sqrt{5} = 4 \) لكان \( 2\sqrt{5} = 2 \) أي \( \sqrt{5} = 1 \) وهذا خاطئ لأنّ \( (\sqrt{5})^2 = 5 \neq 1 \).
ملاحظة: العدد \( 6-2\sqrt{5} \) هو في الحقيقة \( (\sqrt{5}-1)^2 \) وهو عدد أصمّ، فلا يمكن أن يساوي 4.
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
الخطوة 1: \( 3AE - 4BE = 0 \) يعني \( 3AE = 4BE \).
الخطوة 2: بما أنّ \( E \in [AB] \) فإنّ \( AE + BE = AB \) ومنه \( BE = AB - AE \).
الخطوة 3: \( 3AE = 4(AB-AE) \Longrightarrow 3AE + 4AE = 4AB \Longrightarrow 7AE = 4AB \).
الخطوة 4: \( AE = \dfrac{4}{7}AB \).
الإجابة الصحيحة هي : ج) \( AE = \dfrac{4}{7}AB \)
الفكرة: لا نضرب متراجحتين طرفا بطرف إلاّ إذا كانت الأطراف موجبة، لذلك نبدأ بجعل الحدّين موجبين.
الخطوة 1: من \( -2 \le y \le -1 \) نضرب في \((-1)\) فنقلب الاتجاه: \( 1 \le -y \le 2 \). إذن \(-y\) موجب.
الخطوة 2: لدينا \( 4 \le x \le 7 \) و \( 1 \le -y \le 2 \) وكلّ الأطراف موجبة، إذن بالضرب طرفا بطرف: \( 4 \times 1 \le x \times (-y) \le 7 \times 2 \)، أي \( 4 \le -xy \le 14 \).
الخطوة 3: نضرب في \((-1)\) ونقلب الاتجاه: \( -14 \le xy \le -4 \).
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الخطوة 1: التفكيك. \( a = 3^{2013}(3^2+1) = 3^{2013} \times 10 \).
الخطوة 2: العدد من مضاعفات 10، إذن رقم آحاده هو 0.
الإجابة الصحيحة هي : أ) 0
الخطوة 1: في المعلم \( (C;A;D) \) لدينا \( C(0;0) \) و \( A(1;0) \) و \( D(0;1) \).
الخطوة 2: إحداثيّا \(B\). في متوازي الأضلاع \(ABCD\) القطران \([AC]\) و \([BD]\) لهما نفس المنتصف \(O\).
\( O \) منتصف \([AC]\) إذن \( O\left(\dfrac{1}{2};0\right) \).
وبما أنّ \(O\) منتصف \([BD]\) أيضا فإنّ \( B(2\times\tfrac12 - 0\;;\;2\times 0 - 1) = B(1;-1) \).
الخطوة 3: \(I\) منتصف \([AB]\): \( I\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{0+(-1)}{2}\right) = I\left(1;-\dfrac{1}{2}\right) \).
الخطوة 4: \(G\) مركز ثقل المثلّث \(ABO\) إذن \(G\) تنتمي إلى المتوسّط \([OI]\) وَ \( OG = \dfrac{2}{3}OI \):
\( x_G = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} \) ،
\( y_G = 0 + \dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}-0\right) = -\dfrac{1}{3} \).
إذن \( G\left(\dfrac{5}{6}\,;-\dfrac{1}{3}\right) \) والترتيبة ليست \( \dfrac{1}{2} \).
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
الفكرة: \( 12 = 3 \times 4 \) و \(3\) و \(4\) أوّليان فيما بينهما، إذن يجب تحقّق الشرطين معا.
الخطوة 1: القسمة على 4. يجب أن يقبل العدد \( \overline{5b} \) القسمة على 4، إذن \( \overline{5b} \in \{52\,;56\} \) أي \( b \in \{2\,;6\} \).
هذا يُقصي الإجابة "أ" (لأنّ 58 لا تقبل القسمة على 4).
الخطوة 2: القسمة على 3. مجموع الأرقام المعلومة: \( 1+1+1+1+2+2+2+3+0+5+8+5 = 31 \)، والمجموع الكلّي هو \( 31+a+b \).
الخطوة 3: اختبار الإجابتين المتبقّيتين.
• \( a=6, b=6 \): \( 31+12 = 43 \) لا تقبل القسمة على 3 ✘
• \( a=3, b=2 \): \( 31+5 = 36 = 3\times 12 \) تقبل القسمة على 3 ✔ و \( b=2 \) يحقّق شرط القسمة على 4 ✔
الإجابة الصحيحة هي : ج) \( a=3 \) و \( b=2 \)