الخطوة 1: نسمّي \(I\) منتصف \([BC]\). المستقيم \((AI)\) متوسّط، و \(G\) ينتمي إليه مع \( AG = \dfrac{2}{3}AI \) ومنه \( GI = \dfrac{1}{3}AI \).
الخطوة 2: للمثلّثين \(GBC\) و \(ABC\) نفس القاعدة \([BC]\).
ارتفاعا المثلّثين المتعلّقان بهذه القاعدة يتناسبان مع \(GI\) و \(AI\) (حسب طالس)، أي أنّ ارتفاع \(GBC\) يساوي \( \dfrac{1}{3} \) من ارتفاع \(ABC\).
الخطوة 3: إذن مساحة \(GBC\) تساوي \( \dfrac{1}{3} \) من مساحة \(ABC\).
(وبنفس الطريقة، مساحة \(GAB\) ومساحة \(GCA\) تساوي كلّ منهما \( \dfrac{1}{3} \) من مساحة \(ABC\).)
الإجابة الصحيحة هي : ب) \( \dfrac{1}{3} \) من مساحة \(ABC\)
الخطوة 1: \(D\) نقطة من \([AC]\) إذن \( (DC) = (AC) \)، وبما أنّ \( (BF) \parallel (AC) \) فإنّ \( (BF) \parallel (DC) \).
إذن يكفي مقارنة الطولين \(BF\) و \(DC\): الرباعي \(BFDC\) يكون متوازي أضلاع إذا وفقط إذا كان \( BF = DC \).
الخطوة 2: حساب \(BF\) بمبرهنة طالس. النقط \(A\) و \(E\) و \(B\) على استقامة واحدة، والنقط \(D\) و \(E\) و \(F\) على استقامة واحدة، و \( (AD) \parallel (BF) \). إذن:
\( \dfrac{EA}{EB} = \dfrac{AD}{BF} \).
ولدينا \( EA = 3 \) و \( EB = AB - AE = 10-3 = 7 \) و \( AD = 2 \)، إذن \( \dfrac{3}{7} = \dfrac{2}{BF} \) ومنه \( BF = \dfrac{14}{3}\,\text{cm} \).
الخطوة 3: حساب \(DC\). \( DC = AC - AD = 7 - 2 = 5\,\text{cm} \).
الخطوة 4: \( \dfrac{14}{3} \neq 5 \) إذن \( BF \neq DC \): الرباعي \(BFDC\) شبه منحرف وليس متوازي أضلاع.
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
الفكرة: القسمة على \( 12 = 3 \times 4 \) تعني القسمة على 3 وعلى 4 معا.
الخطوة 1: القسمة على 3. المجموعات الممكنة من ثلاثة أرقام مختلفة ومجموعها من مضاعفات 3:
\( \{1;2;3\} \to 6 \) ✔ ، \( \{1;3;5\} \to 9 \) ✔ ، \( \{2;3;5\} \to 10 \) ✘ ، \( \{1;2;5\} \to 8 \) ✘
الخطوة 2: القسمة على 4.
• من \( \{1;2;3\} \): الأعداد الستّة هي 123، 132، 213، 231، 312، 321؛ الرقمان الأخيران يجب أن يكوّنا مضاعفا لـ 4، أي 32 أو 12: نتحصّل على 132 و 312.
• من \( \{1;3;5\} \): كلّ الأرقام فردية، فالعدد المكوّن من الرقمين الأخيرين فردي ولا يقبل القسمة على 4: لا شيء.
النتيجة: عددان فقط: 132 و 312.
الإجابة الصحيحة هي : أ) 2
الخطوة 1: قواسم 12 التي هي أرقام: \( \{1;2;3;4;6\} \) (العدد 12 ليس رقما).
الخطوة 2: العدد يقبل القسمة على 12 إذا وفقط إذا قبِل القسمة على 3 وعلى 4 في آن واحد.
الخطوة 3: شرط القسمة على 3 (مجموع الأرقام من مضاعفات 3). المجموعات الممكنة من ثلاثة أرقام مختلفة:
\( \{1;2;3\} \to 6 \) ✔ ، \( \{1;2;6\} \to 9 \) ✔ ، \( \{2;3;4\} \to 9 \) ✔ ، \( \{2;4;6\} \to 12 \) ✔ ،
أمّا \( \{1;2;4\}=7 \) و \( \{1;3;4\}=8 \) و \( \{1;3;6\}=10 \) و \( \{1;4;6\}=11 \) و \( \{2;3;6\}=11 \) و \( \{3;4;6\}=13 \) فلا تصلح.
الخطوة 4: شرط القسمة على 4 (العدد المكوّن من رقمي العشرات والآحاد من مضاعفات 4). نتحصّل على:
من \( \{1;2;3\} \): 132 و 312 | من \( \{1;2;6\} \): 216 و 612
من \( \{2;3;4\} \): 324 و 432 | من \( \{2;4;6\} \): 264 و 624
النتيجة: عدد هذه الأعداد هو 8 وليس 6.
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
الخطوة 1: البسط. \( 2^{2013}+2^{2015} = 2^{2013}(1+2^2) = 5 \times 2^{2013} \).
الخطوة 2: المقام. \( 2^{2014}+2^{2014} = 2 \times 2^{2014} = 2^{2015} \).
الخطوة 3: \( \dfrac{5\times 2^{2013}}{2^{2015}} = 5 \times 2^{-2} = \dfrac{5}{4} \).
الخطوة 4: \( \dfrac{5}{4} = 1{,}25 \) بالضبط (كتابة عشرية مضبوطة وليست مقرّبة).
الإجابة الصحيحة هي : ب) 1,25
الخطوة 1: نضع \( \dfrac{CH}{2} = \dfrac{BH}{3} = k \) إذن \( CH = 2k \) و \( BH = 3k \).
وبما أنّ \(H \in [BC]\) فإنّ \( BH + HC = BC \) أي \( 5k = 10 \) ومنه \( k = 2 \)، إذن \( BH = 6 \) و \( CH = 4 \).
الخطوة 2: في المثلّث القائم الزاوية في \(A\) وارتفاعه \([AH]\) لدينا العلاقة المتريّة: \( AB^2 = BH \times BC = 6 \times 10 = 60 \).
الخطوة 3: \( AB = \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} \neq 2\sqrt{10} \).
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
الخطوة 1: في المعلم \( (A;C;D) \): \( A(0;0) \) ، \( C(1;0) \) ، \( D(0;1) \).
الخطوة 2: إحداثيّا \(B\). في متوازي الأضلاع \(ABCD\) القطران \([AC]\) و \([BD]\) لهما نفس المنتصف \( O\left(\dfrac{1}{2};0\right) \).
إذن \( B\left(2\times\dfrac{1}{2}-0\;;\;2\times 0 - 1\right) = B(1;-1) \).
الخطوة 3: منتصف \([BC]\). \( M\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{-1+0}{2}\right) = M\left(1;-\dfrac{1}{2}\right) \).
الخطوة 4: مركز الثقل. \(G\) تنتمي إلى المتوسّط \([AM]\) وتبعد عن الرأس بثلثي المتوسّط: \( AG = \dfrac{2}{3}AM \). إذن:
\( x_G = x_A + \dfrac{2}{3}(x_M - x_A) = 0 + \dfrac{2}{3}(1-0) = \dfrac{2}{3} \) ،
\( y_G = y_A + \dfrac{2}{3}(y_M - y_A) = 0 + \dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}-0\right) = -\dfrac{1}{3} \).
إذن \( G\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3}\right) \).
الإجابة الصحيحة هي : ج) \( \left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3}\right) \)
الترميز: نضع \( AB = a \) (ضلع المربّع)، فمساحة المربّع تساوي \( a^2 \).
الخطوة 1: نقطة مساعدة. المستقيم \((DF)\) يقطع المستقيم \((AB)\) في نقطة نسمّيها \(M\).
النقط \(D\) و \(F\) و \(M\) على استقامة واحدة، والنقط \(C\) و \(F\) و \(B\) على استقامة واحدة، و \( (DC) \parallel (MB) \) (لأنّ \( (AB) \parallel (DC) \) في المربّع). إذن حسب مبرهنة طالس:
\( \dfrac{FC}{FB} = \dfrac{FD}{FM} = \dfrac{CD}{BM} \).
وبما أنّ \(F\) منتصف \([BC]\) فإنّ \( \dfrac{FC}{FB} = 1 \)، ومنه \( BM = CD = a \).
الخطوة 2: موقع \(G\) على \([BE]\) بمبرهنة طالس.
النقط \(E\) و \(G\) و \(B\) على استقامة واحدة، والنقط \(D\) و \(G\) و \(M\) على استقامة واحدة، و \( (ED) \parallel (BM) \). إذن:
\( \dfrac{GE}{GB} = \dfrac{GD}{GM} = \dfrac{ED}{BM} = \dfrac{a/2}{a} = \dfrac{1}{2} \).
ومنه \( GB = 2\,GE \) و \( BE = BG + GE = 3\,GE \)، أي \( BG = \dfrac{2}{3}BE \).
الخطوة 3: القطر \([BD]\) يجزّئ الرباعي. النقطتان \(A\) و \(G\) في جهتين مختلفتين من \((BD)\)، إذن:
مساحة \(ABGD\) = مساحة \(ABD\) + مساحة \(DBG\).
• مساحة \(ABD\) \( = \dfrac{a^2}{2} \) (نصف المربّع).
الخطوة 4: مساحة \(DBG\).
• المثلّث \(DBE\): قاعدته \( DE = \dfrac{a}{2} \) محمولة على \((DC)\)، والارتفاع المناسب هو بُعد \(B\) عن \((DC)\) أي \(a\). إذن مساحة \(DBE\) \( = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{a}{2} \times a = \dfrac{a^2}{4} \).
• المثلّثان \(DBG\) و \(DBE\) لهما نفس الرأس \(D\) وقاعدتاهما \([BG]\) و \([BE]\) محمولتان على نفس المستقيم، إذن:
مساحة \(DBG\) \( = \dfrac{BG}{BE} \times \) مساحة \(DBE\) \( = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{a^2}{6} \).
الخطوة 5: مساحة \(ABGD\) \( = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2}{6} = \dfrac{3a^2+a^2}{6} = \dfrac{2a^2}{3} \)، أي ثلثا مساحة المربّع.
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الفكرة: الكتابة العلميّة من الشكل \( a \times 10^{n} \) حيث \( 1 \le |a| < 10 \) و \(n\) عدد صحيح.
الخطوة 1: \( 0{,}00314 = 3{,}14 \times 10^{-3} \).
الخطوة 2: \( 0{,}00314 \times 10^{7} = 3{,}14 \times 10^{-3} \times 10^{7} = 3{,}14 \times 10^{4} \).
ملاحظة: الإجابة "أ" \( (314 \times 10^{2}) \) تساوي نفس العدد \(31400\) لكنّها ليست كتابة علميّة لأنّ \( 314 \ge 10 \).
الإجابة الصحيحة هي : ج) \( 3{,}14 \times 10^{4} \)