الخطوة 1: حساب \(a\) بتجميع الحدود مثنى مثنى.
\( a = (1+2018) + (2+2017) + (3+2016) + \dots \) : لدينا 2018 حدّا، أي 1009 زوجا، ومجموع كلّ زوج يساوي 2019.
إذن \( a = 1009 \times 2019 \).
الخطوة 2: تجميع حدود \(b\) اثنين اثنين.
\( b = (1^2-2^2) + (3^2-4^2) + \dots + (2017^2-2018^2) \) وعدد الأقواس هو \( \dfrac{2018}{2} = 1009 \).
كلّ قوس من الشكل \( (2k-1)^2 - (2k)^2 = \big[(2k-1)-2k\big]\big[(2k-1)+2k\big] = -(4k-1) \) مع \( 1 \le k \le 1009 \).
الخطوة 3: إذن \( b = -(3+7+11+\dots+4035) \) وهو مجموع 1009 حدّا، الفرق بين كلّ حدّ والذي يليه يساوي 4.
نجمع الحدود مثنى مثنى (الأوّل مع الأخير، الثاني مع ما قبل الأخير…): \( 3+4035 = 7+4031 = \dots = 4038 \).
نتحصّل على 504 زوجا مجموع كلّ منها 4038، ويبقى الحدّ الأوسط (الحدّ رقم 505) وهو \( 4\times505-1 = 2019 \).
إذن \( 3+7+\dots+4035 = 504 \times 4038 + 2019 = 1008 \times 2019 + 2019 = 1009 \times 2019 \).
ومنه \( b = -1009 \times 2019 \).
الخطوة 4: \( b = -a \) إذن العددان متقابلان.
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الخطوة 1: بما أنّ \(ABCD\) متوازي أضلاع فإنّ \( (AB) \parallel (DC) \)، وبما أنّ \( I \in [AB] \) فإنّ \( (AI) \parallel (DC) \).
الخطوة 2: طالس في وضعية "المثلّثين المتقابلين بالرأس".
النقط \(A\) و \(M\) و \(C\) على استقامة واحدة، والنقط \(I\) و \(M\) و \(D\) على استقامة واحدة، و \( (AI) \parallel (CD) \). إذن:
\( \dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MI}{MD} = \dfrac{AI}{CD} \).
الخطوة 3: \(I\) منتصف \([AB]\) إذن \( AI = \dfrac{1}{2}AB \)، و \( AB = CD \) (ضلعان متقابلان)، ومنه \( \dfrac{AI}{CD} = \dfrac{1}{2} \) أي \( MC = 2\,MA \).
الخطوة 4: \(M \in [AC]\) إذن \( AC = AM + MC = AM + 2AM = 3AM \)، ومنه \( \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{1}{3} \).
الإجابة الصحيحة هي : ب) \( \dfrac{1}{3} \)
الخطوة 1: تبسيط الطرف الأيمن (دون أيّة قيمة مقرّبة).
لدينا \( (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 4-5 = -1 \)، إذن \( 2+\sqrt{5} = \dfrac{-1}{\,2-\sqrt{5}\,} \).
ومنه \( (2+\sqrt{5})^{2017} = \dfrac{(-1)^{2017}}{(2-\sqrt{5})^{2017}} = \dfrac{-1}{(2-\sqrt{5})^{2017}} \).
إذن الطرف الأيمن يساوي: \( \dfrac{-1}{(2-\sqrt{5})^{2017}} \times \dfrac{1}{(2-\sqrt{5})^{2019}} = \dfrac{-1}{(2-\sqrt{5})^{4036}} \).
الخطوة 2: \( (2-\sqrt{5})^{4036} = \big[(2-\sqrt{5})^{2}\big]^{2018} = (9-4\sqrt{5})^{2018} \).
وبما أنّ \( (9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5}) = 81-80 = 1 \) فإنّ \( \dfrac{1}{(9-4\sqrt{5})^{2018}} = (9+4\sqrt{5})^{2018} \).
إذن الطرف الأيمن \( = -(9+4\sqrt{5})^{2018} \) وهو عدد سالب. نضع \( N = (9+4\sqrt{5})^{2018} > 0 \).
الخطوة 3: مثال مضادّ.
أوّلا \( 4\sqrt{5} = \sqrt{80} < \sqrt{81} = 9 \)، إذن \( 4\sqrt{5}-9 < 0 \).
نختار \( x = 5N \)؛ فهو موجب وبالتالي \( x > 4\sqrt{5}-9 \).
ثانيا \( \sqrt{5} > 2{,}2 \) (لأنّ \( (2{,}2)^2 = 4{,}84 < 5 \))، إذن \( 2-\sqrt{5} < -0{,}2 \)، ومنه:
\( (2-\sqrt{5})\,x < -0{,}2 \times 5N = -N \).
أي أنّ الطرف الأيسر أصغر من الطرف الأيمن، فالعبارة لا تتحقّق لهذا الـ \(x\).
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
الخطوة 1: التفكيك. \( 3^{105} - 3^{103} = 3^{103}(3^2-1) = 3^{103} \times 8 = 2^3 \times 3^{103} \).
الخطوة 2: الاختبار.
• على 9 \(= 3^2\): نعم، لأنّ \( 3^{103} = 3^2 \times 3^{101} \).
• على 12 \(= 4 \times 3\): نعم، لأنّ العدد يحتوي على \(2^3\) (إذن على 4) وعلى 3.
• على 15 \(= 3 \times 5\): لا، لأنّ العاملين الأوّليّين للعدد هما 2 و 3 فقط، فلا يحتوي على العامل 5.
الإجابة الصحيحة هي : أ) 15
الخطوة 1: العدد يقبل القسمة على 6 إذا وفقط إذا قبِل القسمة على 2 وعلى 3.
الخطوة 2: القسمة على 2. رقم الآحاد يجب أن يكون زوجيّا، ولا نملك سوى 0 و 1، إذن رقم الآحاد هو 0.
الخطوة 3: القسمة على 3. مجموع الأرقام هو عدد الأرقام المساوية لـ 1، ويجب أن يكون من مضاعفات 3.
رقم المرتبة الأولى (رقم آلاف العشرات) يجب أن يكون \( \neq 0 \) إذن يساوي 1، ورقم الآحاد هو 0: يبقى إذن 4 مراتب حرّة، وعدد الواحدات لا يتجاوز 5. المجموع الممكن هو إذن 3 بالضبط (لأنّ 6 مستحيل).
الخطوة 4: السرد. نضع 1 في المرتبة الأولى، 0 في الآحاد، ونختار موضعي الواحدتين المتبقّيتين من بين 4 مراتب:
111000 • 110100 • 110010 • 101100 • 101010 • 100110
عددها 6 (وكلّها فعلا من مضاعفات 6: \( 111000 = 6\times 18500 \) …).
العبارة صحيحة.
الإجابة : صحيح
الخطوة 1: \(a \neq 0\). لو كان \( a = 0 \) لكان \( 0-0-1 = -1 = 0 \) وهذا مستحيل، إذن يمكن القسمة على \(a\).
الخطوة 2: نقسم طرفي المساواة على \(a\): \( \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{2a}{a} - \dfrac{1}{a} = 0 \) أي \( a - 2 - \dfrac{1}{a} = 0 \).
الخطوة 3: \( \dfrac{1}{a} = a-2 \).
الإجابة الصحيحة هي : ب) \( a-2 \)
الخطوة 1: \( (\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2} \) و \( (\sqrt{2})^{-3} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \).
الخطوة 2: \( (\sqrt{2})^{-3} + (\sqrt{2})^{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} + 2\sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{2} + 8\sqrt{2}}{4} = \dfrac{9\sqrt{2}}{4} \).
الخطوة 3: مقلوب \( \sqrt{2} \) هو \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).
ولو كان \( \dfrac{9\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) لكان \( \dfrac{9}{4} = \dfrac{1}{2} \) وهذا مستحيل.
العبارة خاطئة.
الإجابة : خطأ
| عدد الإخوة | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| التكرار التراكمي النازل | 120 | 115 | 95 | 65 | 20 |
الخطوة 1: استخراج التكرارات من التكرار التراكمي النازل.
\( n(0) = 120-115 = 5 \) ، \( n(1) = 115-95 = 20 \) ، \( n(2) = 95-65 = 30 \) ، \( n(3) = 65-20 = 45 \) ، \( n(4) = 20 \).
التكرار الجملي \( N = 120 \) (وهو أوّل قيمة في التكرار التراكمي النازل).
الخطوة 2: التكرار التراكمي الصاعد.
5 ، 25 ، 55 ، 100 ، 120.
الخطوة 3: تحديد الموسّط. \(N = 120\) زوجي، إذن الموسّط هو معدّل القيمتين ذواتي الرتبتين 60 و 61.
بما أنّ \( 55 < 60 \le 100 \) و \( 55 < 61 \le 100 \) فإنّ القيمتين كلتيهما تساويان 3.
إذن الموسّط \( = 3 \).
ملاحظة: الإجابة "75" مستحيلة لأنّ الموسّط قيمة من قيم السلسلة (بين 0 و 4).
الإجابة الصحيحة هي : ج) 3