💡 مؤشّر ← 📝 الطريقة ← ✅ الحل الكامل · واضغط على فهمي لمساعدة مرقّمة سؤالا بسؤال
نصّ التمرين\((O,I,J)\) معين للمستوي بحيث \((OI)\perp(OJ)\) ، والنقاط
\(A(-3\,;\,2)\) ، \(B(1\,;\,2)\) ، \(C(3\,;\,-1)\) و \(D(-1\,;\,-1)\).
1
السؤال 1 من الصفحة
بيّن أنّ \((OI)\) و \((AB)\) متوازيان.
💡 مؤشّرقارن ترتيبَي \(A\) و \(B\) : ما الذي تلاحظه ؟
📝 الطريقةنقطتان لهما نفس الترتيب تنتميان إلى مستقيم أفقي كلّ نقاطه لها نفس الترتيب ، وكلّ مستقيم أفقي يوازي محور الفواصل.
✅ الحل الكامل\(y_A=y_B=2\) ، إذن \((AB)\) مستقيم كلّ نقاطه لها الترتيب \(2\) وهو يوازي محور الفواصل \((OI)\).
الجواب : \((AB)\,/\!/\,(OI)\)
2
السؤال 2 من الصفحة
بيّن أنّ الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
💡 مؤشّريكفي ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان ؛ أو تحقّق من تناصف القطرين.
📝 الطريقةأوّلا التوازي : \(y_D=y_C=-1\) إذن \((DC)\,/\!/\,(OI)\) ، ومع السؤال 1 نستنتج \((AB)\,/\!/\,(DC)\). ثمّ التقايس : الضلعان أفقيّان فالطول هو الفرق بين الفاصلتين بالقيمة المطلقة.
✅ الحل الكامل\(AB=\left|x_B-x_A\right|=\left|1-(-3)\right|=4\) و \(DC=\left|x_C-x_D\right|=\left|3-(-1)\right|=4\). الضلعان \([AB]\) و \([DC]\) متوازيان ومتقايسان ، إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع. تحقّق : منتصف \([AC]\) هو \(\left(0\,;\,\dfrac12\right)\) ومنتصف \([BD]\) هو \(\left(0\,;\,\dfrac12\right)\) : القطران يتناصفان.
الجواب : \(ABCD\) متوازي أضلاع
3
السؤال 3 من الصفحة
حدّد \(\mathcal{E}\) مجموعة نقاط المستوي \(M(x\,;\,y)\) بحيث \(y=2\) و \(-3
💡 مؤشّرالشرط على \(y\) يحدّد المستقيم ، والشرط على \(x\) يحدّد الجزء المطلوب. انتبه : المتراجحة صارمة.
📝 الطريقة\(y=2\) هو المستقيم \((AB)\). و \(x\) محصور بين \(x_A=-3\) و \(x_B=1\) دون قبول الطرفين.
✅ الحل الكاملالمجموعة هي القطعة \([AB]\) محرومة من طرفيها \(A\) و \(B\) ، أي \(\mathcal{E}=\,]AB[\).
الجواب : \(\mathcal{E}=\,]AB[\)
4
السؤال 4 من الصفحة
حدّد \(\mathcal{F}\) مجموعة نقاط المستوي \(M(x\,;\,y)\) بحيث \(y=-1\) و \(x\ge -1\).
💡 مؤشّر\(y=-1\) هو المستقيم \((DC)\) ؛ ولاحظ أنّ \(-1\) هي بالضبط فاصلة \(D\).
📝 الطريقةالمتراجحة محدودة من جهة واحدة فقط \(\Rightarrow\) نصف مستقيم. أصله النقطة ذات الفاصلة \(-1\) أي \(D\) ، واتّجاهه نحو الفواصل الأكبر أي نحو \(C\) (\(x_C=3\)).
✅ الحل الكامل\(\mathcal{F}\) هو نصف المستقيم ذو الأصل \(D\) والمارّ بـ \(C\) ، أي \(\mathcal{F}=[DC)\).
الجواب : \(\mathcal{F}=[DC)\)
5
السؤال 5 من الصفحة
عيّن النقطة \(K\) منتصف \([BC]\) ثمّ حدّد إحداثيّاتها.
💡 مؤشّرإحداثيّات المنتصف هي مُعدّل إحداثيّات الطرفين ، لا مجموعهما.
📝 الطريقة\(x_K=\dfrac{x_B+x_C}{2}\) و \(y_K=\dfrac{y_B+y_C}{2}\).
✅ الحل الكامل\(x_K=\dfrac{1+3}{2}=2\) و \(y_K=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}\).
الجواب : \(K\left(2\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\)
6-أ
السؤال 6 من الصفحة
المستقيم المارّ من \(C\) والموازي لـ \((OJ)\) يقطع \((AB)\) في \(E\) ، ويقطع المستقيم المارّ من \(D\) والموازي لـ \((AB)\) في \(L\). حدّد إحداثيّات \(E\) و \(L\).
💡 مؤشّرمستقيم يوازي \((OJ)\) كلّ نقاطه لها نفس الفاصلة ؛ ومستقيم يوازي \((AB)\) كلّ نقاطه لها نفس الترتيب.
📝 الطريقةالمستقيم المارّ بـ \(C\) الموازي لـ \((OJ)\) كلّ نقاطه لها الفاصلة \(x_C=3\). وكلّ نقاط \((AB)\) لها الترتيب \(2\) ، فالتقاطع يجمع الشرطين. المستقيم المارّ بـ \(D\) الموازي لـ \((AB)\) كلّ نقاطه لها الترتيب \(y_D=-1\) ، وهو المستقيم \((DC)\).
✅ الحل الكامل\(E\) تحقّق \(x=3\) و \(y=2\) إذن \(E(3\,;\,2)\). \(L\) تحقّق \(x=3\) و \(y=-1\) إذن \(L(3\,;\,-1)\) ، ونلاحظ أنّ \(L\) تنطبق على \(C\).
الجواب : \(E(3\,;\,2)\) و \(L(3\,;\,-1)=C\)
6-ب
السؤال 7 من الصفحة
بيّن أنّ \(L\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(K\).
💡 مؤشّريكفي أن تبيّن أنّ \(K\) هي منتصف \([BL]\).
📝 الطريقةاحسب إحداثيّات منتصف \([BL]\) وقارنها بإحداثيّات \(K\) المحسوبة في السؤال 5.
✅ الحل الكامل\(\dfrac{x_B+x_L}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2=x_K\) و \(\dfrac{y_B+y_L}{2}=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}=y_K\). إذن \(K\) منتصف \([BL]\) ، أي \(L\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(K\). ملاحظة : النتيجة منتظرة لأنّ \(L=C\) و \(K\) هي منتصف \([BC]\).
الجواب : \(K\) منتصف \([BL]\) إذن \(L\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(K\)
7
السؤال 8 من الصفحة
المستقيم \((AB)\) يقطع \((OJ)\) في \(F\) . حدّد إحداثيّات \(F\).
💡 مؤشّرماذا تساوي فاصلة كلّ نقطة من محور التراتيب \((OJ)\) ؟
📝 الطريقةكلّ نقاط \((OJ)\) لها الفاصلة \(0\) ، و وكلّ نقاط \((AB)\) لها الترتيب \(2\). النقطة \(F\) تحقّق الشرطين معا.
✅ الحل الكامل\(x_F=0\) و \(y_F=2\) إذن \(F(0\,;\,2)\).
الجواب : \(F(0\,;\,2)\)
8
السؤال 9 من الصفحة
أحسب مساحة الرباعي \(OIBA\).
💡 مؤشّرارسم الرباعي : ضلعان منه محمولان على مستقيمين متوازيين. أيّ شكل هذا ؟
📝 الطريقة\([OI]\) محمول على \(y=0\) و \([AB]\) محمول على \(y=2\) ، والمستقيمان متوازيان : الرباعي شبه منحرف. القاعدتان \(OI=1\) و \(AB=4\) ، والارتفاع هو المسافة بين المستقيمين أي \(2\).