🎯 في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على :
- تجد مناظرة نقطة بالنسبة إلى كلّ محور وإلى الأصل
- تتعرّف على نوع التناظر انطلاقا من إحداثيّتين
- تتعامل مع التناظر بالنسبة إلى نقطة \(K\) أيّا كانت
- تستعمل الموسّط العمودي لإثبات التقايس دون أيّ حساب
1الفكرة : الطيّ 📄
خذ ورقة وارسم عليها نقطة \(M\) ومستقيما. اطوِ الورقة على المستقيم.
المكان الذي تصل إليه \(M\) بعد الطيّ هو مناظرتها.
🤔 قف وفكّرعند الطيّ حول مستقيم أفقي ، هل تتحرّك النقطة يمينا أو يسارا ؟ لا — تنزل أو تصعد فقط.
إذن الفاصلة (الموضع الأفقي) لا تتغيّر. هذه هي كلّ القاعدة.
إذن الفاصلة (الموضع الأفقي) لا تتغيّر. هذه هي كلّ القاعدة.
2التناظر بالنسبة إلى \((OI)\) — محور الفواصل
📐 القاعدةالمحور أفقي ⟹ الطيّ يحرّك النقطة محصور بين مستقيمينّا فقط.
الفاصلة تبقى · الترتيب ينقلب
\(\qquad M(x\,;\,y)\;\longrightarrow\;M'(x\,;\,-y)\)
الفاصلة تبقى · الترتيب ينقلب
\(\qquad M(x\,;\,y)\;\longrightarrow\;M'(x\,;\,-y)\)
مثال : مناظرة \(A(3\,;\,2)\) بالنسبة إلى \((OI)\) هي \(A'(3\,;\,-2)\).
3التناظر بالنسبة إلى \((OJ)\) — محور التراتيب
📐 القاعدةالمحور محصور بين مستقيمين ⟹ الطيّ يحرّك النقطة أفقيّا فقط.
الترتيب يبقى · الفاصلة تنقلب
\(\qquad M(x\,;\,y)\;\longrightarrow\;M'(-x\,;\,y)\)
الترتيب يبقى · الفاصلة تنقلب
\(\qquad M(x\,;\,y)\;\longrightarrow\;M'(-x\,;\,y)\)
مثال : مناظرة \(A(3\,;\,2)\) بالنسبة إلى \((OJ)\) هي \(A'(-3\,;\,2)\).
4التناظر بالنسبة إلى \(O\) — الأصل
📐 القاعدةهنا \(O\) هي منتصف \([MM']\) ، إذن الإحداثيّتان تنقلبان معا :
\(\qquad M(x\,;\,y)\;\longrightarrow\;M'(-x\,;\,-y)\)
\(\qquad M(x\,;\,y)\;\longrightarrow\;M'(-x\,;\,-y)\)
مثال : مناظرة \(A(3\,;\,2)\) بالنسبة إلى \(O\) هي \(A'(-3\,;\,-2)\).
💡 لماذا الاثنتان معا ؟لأنّ التناظر بالنسبة إلى \(O\) هو تركيب التناظرين المحوريّين : اطوِ حول \((OI)\) ثمّ حول \((OJ)\) — النتيجة واحدة.
🔬 اسحب \(M\) — الصور الثلاث تتحرّك معهااسحب النقاط بإصبعك
النقاط الأربع تشكّل دائما مستطيلا مركزه \(O\). هذا ليس صدفة.
5جدول الحفظ — انسخه على ورقة صغيرة
📋 الجدول
| التناظر بالنسبة إلى | الفاصلة | الترتيب | النتيجة |
|---|---|---|---|
| \((OI)\) | تبقى | تنقلب | \((x\,;\,-y)\) |
| \((OJ)\) | تنقلب | يبقى | \((-x\,;\,y)\) |
| \(O\) | تنقلب | تنقلب | \((-x\,;\,-y)\) |
💡 الحيلة الوحيدة التي تحتاجهاالمحور يحمي الإحداثيّة التي تُقاس في اتّجاهه :
\((OI)\) أفقي ⟹ يحمي الفاصلة.
\((OJ)\) محصور بين مستقيمين ⟹ يحمي الترتيب.
\(O\) نقطة ⟹ لا تحمي شيئا.
\((OI)\) أفقي ⟹ يحمي الفاصلة.
\((OJ)\) محصور بين مستقيمين ⟹ يحمي الترتيب.
\(O\) نقطة ⟹ لا تحمي شيئا.
✍️ جرّب بنفسك — \(C(-3\,;\,\sqrt2)\) و \(D(-3\,;\,-\sqrt2)\) : أيّ تناظر يربطهما ؟
الفاصلتان متساويتان \((-3)\) والترتيبان متقابلان.
الفاصلة محفوظة ⟹ المحور الذي يحميها هو \((OI)\).
الجواب : متناظرتان بالنسبة إلى \((OI)\).
الفاصلة محفوظة ⟹ المحور الذي يحميها هو \((OI)\).
الجواب : متناظرتان بالنسبة إلى \((OI)\).
6التناظر بالنسبة إلى نقطة \(K\) أيّا كانت
🛑 لا تقلب الإشارات !قلب الإشارات صحيح فقط إذا كان المركز هو \(O\).
إذا كان المركز نقطة أخرى \(K\) ، استعمل المنتصف.
إذا كان المركز نقطة أخرى \(K\) ، استعمل المنتصف.
📐 القاعدة العامّة\(M'\) مناظرة \(M\) بالنسبة إلى \(K\) \(\;\Longleftrightarrow\;\) \(K\) منتصف \([MM']\)
\(\qquad M'=2K-M\)
\(\qquad M'=2K-M\)
مثال : مناظرة \(A(\sqrt2\,;\,5)\) بالنسبة إلى \(I(1\,;\,0)\) :
\(x'=2\times 1-\sqrt2=2-\sqrt2\) و \(y'=2\times 0-5=-5\) ، إذن \(A'(2-\sqrt2\,;\,-5)\).
7الجائزة : مثلّث متقايس الساقين بلا حساب
📐 خاصيّة تختصر عليك الوقتإذا كانت \(C\) و \(E\) متناظرتين بالنسبة إلى مستقيم \(\Delta\) ، فإنّ :
• \(\Delta\) هو الموسّط العمودي لـ \([CE]\)
• وكلّ نقطة من \(\Delta\) تبعد نفس البعد عن \(C\) و \(E\)
• \(\Delta\) هو الموسّط العمودي لـ \([CE]\)
• وكلّ نقطة من \(\Delta\) تبعد نفس البعد عن \(C\) و \(E\)
الاستعمال : « بيّن أنّ المثلّث \(JCE\) متقايس الساقين ».
إذا كانت \(C\) و \(E\) متناظرتين بالنسبة إلى \((OJ)\) ، و \(J\in(OJ)\) ، فإنّ \(JC=JE\) مباشرة — بلا أيّ حساب ، بمجرّد ذكر الخاصيّة.
💡 لماذا هذا مهمّ ؟لأنّك لا تملك بعدُ أداة لحساب طول قطعة مائلة في المعين. فكلّ سؤال من نوع « بيّن أنّ المثلّث متقايس الساقين » يُحلّ حتما بالتناظر ، لا بالحساب.
8🧠 تذكّر
✅ الخلاصة1️⃣ \((OI)\) : \((x\,;\,-y)\) · \((OJ)\) : \((-x\,;\,y)\) · \(O\) : \((-x\,;\,-y)\).
2️⃣ المحور يحمي الإحداثيّة التي في اتّجاهه.
3️⃣ مركز غير \(O\) ⟹ \(M'=2K-M\).
4️⃣ تناظر محوري ⟹ موسّط عمودي ⟹ مثلّث متقايس الساقين ، بلا حساب.
5️⃣ التناظر المحوري يحتاج معينا متعامدا ؛ التناظر بالنسبة إلى نقطة لا يحتاجه.
2️⃣ المحور يحمي الإحداثيّة التي في اتّجاهه.
3️⃣ مركز غير \(O\) ⟹ \(M'=2K-M\).
4️⃣ تناظر محوري ⟹ موسّط عمودي ⟹ مثلّث متقايس الساقين ، بلا حساب.
5️⃣ التناظر المحوري يحتاج معينا متعامدا ؛ التناظر بالنسبة إلى نقطة لا يحتاجه.
Devoirati — درس التعيين في المستوي · الفهرس