🎯 في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على :
- تتعرّف على قطرَي رباعي دون خطأ
- تُثبت أنّ رباعيّا متوازي أضلاع في أربعة أسطر
- تجد الرأس الرابع الناقص
- تصعد إلى المستطيل والمعيّن وشبه المنحرف
1لماذا القطران وليس الأضلاع ؟
يمكن إثبات متوازي الأضلاع بعدّة طرق. لكن في التعيين ، طريقة واحدة تفوق الباقي.
📐 الخاصيّة المستعملةرباعي قطراه يتناصفان \(\;\Longleftrightarrow\;\) هو متوازي أضلاع.
💡 ثلاث أسباب1️⃣ لا تحتاج إلّا إلى صيغة المنتصف ، وأنت تتقنها.
2️⃣ تشتغل في أيّ معين — حتّى غير المتعامد.
3️⃣ حسابان فقط ، بدل أربعة أطوال.
2️⃣ تشتغل في أيّ معين — حتّى غير المتعامد.
3️⃣ حسابان فقط ، بدل أربعة أطوال.
2🛑 الفخّ الأوّل : من هما القطران ؟
🛑 لا تُخطئ في التسميةالقطر يربط رأسين غير متجاورين ، أي رأسين تفصل بينهما حرف واحد في الاسم.
في الرباعي \(ABCD\) ، الرؤوس بالترتيب \(A\to B\to C\to D\). إذن :
- الأضلاع : \([AB]\) ، \([BC]\) ، \([CD]\) ، \([DA]\)
- القطران : \([AC]\) و \([BD]\) — الأوّل والثالث ، الثاني والرابع
💡 طريقة مضمونةاكتب الاسم : A B C D
القطر الأوّل يربط الحرف 1 بالحرف 3 ، والقطر الثاني الحرف 2 بالحرف 4.
جرّب على \(ABFC\) : القطران هما \([AF]\) و \([BC]\).
وعلى \(ACBD\) : القطران هما \([AB]\) و \([CD]\).
وعلى \(ABON\) : القطران هما \([AO]\) و \([BN]\).
القطر الأوّل يربط الحرف 1 بالحرف 3 ، والقطر الثاني الحرف 2 بالحرف 4.
جرّب على \(ABFC\) : القطران هما \([AF]\) و \([BC]\).
وعلى \(ACBD\) : القطران هما \([AB]\) و \([CD]\).
وعلى \(ABON\) : القطران هما \([AO]\) و \([BN]\).
✍️ جرّب بنفسك — في الرباعي \(EFGH\) ، ما هما القطران ؟
الحرف 1 مع الحرف 3 : \([EG]\)
الحرف 2 مع الحرف 4 : \([FH]\)
القطران : \([EG]\) و \([FH]\) — وليس \([EF]\) و \([GH]\) ، فهما ضلعان.
الحرف 2 مع الحرف 4 : \([FH]\)
القطران : \([EG]\) و \([FH]\) — وليس \([EF]\) و \([GH]\) ، فهما ضلعان.
3نموذج التحرير — انسخه في الفرض
✍️ أربعة أسطر1. قطرا الرباعي \(ABCD\) هما \([AC]\) و \([BD]\).
2. منتصف \([AC]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)=(\ldots)\)
3. منتصف \([BD]\) : \(\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_B+y_D}{2}\right)=(\ldots)\)
4. للقطرين نفس المنتصف ، إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع.
2. منتصف \([AC]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)=(\ldots)\)
3. منتصف \([BD]\) : \(\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_B+y_D}{2}\right)=(\ldots)\)
4. للقطرين نفس المنتصف ، إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع.
اسحب الرؤوس في الشكل التالي وراقب المنتصفين :
🔬 اسحب \(A\) ، \(B\) و \(C\) — و \(D\) تُبنى تلقائيّااسحب الرؤوس
النقطة الخضراء هي المنتصف المشترك للقطرين. إنّها لا تنقسم أبدا.
4إيجاد الرأس الرابع
سؤال كلاسيكي : « أوجد \(D\) بحيث يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع ».
🪜 ثلاث خطوات1. حدّد القطرين : \([AC]\) و \([BD]\).
2. احسب \(K\) منتصف القطر المعلوم بالكامل ، أي \([AC]\).
3. \(K\) هو أيضا منتصف \([BD]\) ، إذن \(\;D=2K-B\).
2. احسب \(K\) منتصف القطر المعلوم بالكامل ، أي \([AC]\).
3. \(K\) هو أيضا منتصف \([BD]\) ، إذن \(\;D=2K-B\).
🛑 انتبه للاسمإذا كان المطلوب \(ABFC\) بدل \(ABCD\) ، فالقطر المعلوم هو \([BC]\) والمجهول \([AF]\) ⟹ \(F=2K-A\).
حدّد القطرين أوّلا ، دائما.
حدّد القطرين أوّلا ، دائما.
✍️ جرّب بنفسك — \(A(-2\,;\,2)\) ، \(B(3\,;\,2)\) ، \(C(2\,;\,-1)\). أوجد \(F\) بحيث يكون \(ABFC\) متوازي أضلاع.
1. في \(ABFC\) القطران هما \([AF]\) و \([BC]\).
2. \(K\) منتصف \([BC]\) : \(\left(\dfrac{3+2}{2}\,;\,\dfrac{2-1}{2}\right)=\left(\dfrac52\,;\,\dfrac12\right)\)
3. \(F=2K-A\) : \(x_F=5+2=7\) و \(y_F=1-2=-1\)
إذن \(F(7\,;\,-1)\).
2. \(K\) منتصف \([BC]\) : \(\left(\dfrac{3+2}{2}\,;\,\dfrac{2-1}{2}\right)=\left(\dfrac52\,;\,\dfrac12\right)\)
3. \(F=2K-A\) : \(x_F=5+2=7\) و \(y_F=1-2=-1\)
إذن \(F(7\,;\,-1)\).
5الصعود : مستطيل ، معيّن ، شبه منحرف
📐 مستطيلمتوازي أضلاع + زاوية قائمة واحدة.
في التعيين : ضلع يوازي \((OI)\) وضلع مجاور يوازي \((OJ)\) ، في معين متعامد.
في التعيين : ضلع يوازي \((OI)\) وضلع مجاور يوازي \((OJ)\) ، في معين متعامد.
📐 معيّنمتوازي أضلاع + قطران متعامدان.
في التعيين : قطر محمول على \((OI)\) وقطر محمول على \((OJ)\).
في التعيين : قطر محمول على \((OI)\) وقطر محمول على \((OJ)\).
📐 شبه منحرفضلعان متقابلان متوازيان وغير متقايسين.
لا تنسَ مقارنة الطولين ! التوازي وحده لا يكفي — قد يكون متوازي أضلاع.
لا تنسَ مقارنة الطولين ! التوازي وحده لا يكفي — قد يكون متوازي أضلاع.
💡 مثال\(AB=5\,OI\) و \(NC=4\,OI\) : متوازيان لكن \(5\ne 4\) ⟹ شبه منحرف.
6🧠 تذكّر
✅ الخلاصة1️⃣ قطرا \(ABCD\) : الحرف 1 مع 3 ، والحرف 2 مع 4.
2️⃣ نفس المنتصف ⟹ متوازي أضلاع. صالح في أيّ معين.
3️⃣ الرأس الرابع : \(D=2K-B\).
4️⃣ مستطيل = \(+\) زاوية قائمة · معيّن = \(+\) قطران متعامدان.
5️⃣ شبه منحرف : متوازيان وغير متقايسين.
2️⃣ نفس المنتصف ⟹ متوازي أضلاع. صالح في أيّ معين.
3️⃣ الرأس الرابع : \(D=2K-B\).
4️⃣ مستطيل = \(+\) زاوية قائمة · معيّن = \(+\) قطران متعامدان.
5️⃣ شبه منحرف : متوازيان وغير متقايسين.
Devoirati — درس التعيين في المستوي · الفهرس