🎯 في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على :
- تحسب إحداثيّات المنتصف دون خطأ
- تجد الطرف الناقص لمّا يُعطى لك المنتصف
- تُثبت أنّ نقطة هي منتصف قطعة
- تربط المنتصف بالتناظر بالنسبة إلى نقطة
1ما هو المنتصف ؟
منتصف \([AB]\) هو النقطة التي تقسم القطعة إلى جزأين متساويين.
🤔 قف وفكّرإذا كان عمر أخيك \(8\) سنوات وعمرك \(14\) سنة ، ما هو العمر الذي في المنتصف ؟
\(\dfrac{8+14}{2}=11\). هذا هو المعدّل — ونفس الفكرة تماما مع الإحداثيّات.
\(\dfrac{8+14}{2}=11\). هذا هو المعدّل — ونفس الفكرة تماما مع الإحداثيّات.
2الصيغة
📐 القاعدةإذا كان \(K\) منتصف \([AB]\) فإنّ :
\(\qquad x_K=\dfrac{x_A+x_B}{2}\qquad\text{و}\qquad y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2}\)
أي : نجمع ثمّ نقسم على \(2\) ، لكلّ إحداثيّة على حدة.
\(\qquad x_K=\dfrac{x_A+x_B}{2}\qquad\text{و}\qquad y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2}\)
أي : نجمع ثمّ نقسم على \(2\) ، لكلّ إحداثيّة على حدة.
🛑 الخطآن الشائعان❌ نسيان القسمة على \(2\).
❌ الخلط مع البعد : المنتصف يستعمل الجمع \((+)\) ، والبعد يستعمل الطرح \((-)\).
❌ الخلط مع البعد : المنتصف يستعمل الجمع \((+)\) ، والبعد يستعمل الطرح \((-)\).
🔬 اسحب \(A\) و \(B\) — \(K\) يتبعهمااسحب النقاط بإصبعك
\(K\) يبقى دائما في الوسط تماما ، مهما حرّكت النقطتين.
3ثلاثة استعمالات — تعرّف عليها
1️⃣ إيجاد المنتصفمعطى : \(A\) و \(B\). مطلوب : \(K\).
\(\Rightarrow\) تطبيق مباشر للصيغة.
\(\Rightarrow\) تطبيق مباشر للصيغة.
2️⃣ إيجاد الطرف الناقصمعطى : \(A\) و \(K\). مطلوب : \(B\).
\(\Rightarrow\) \(x_B=2x_K-x_A\) و \(y_B=2y_K-y_A\)
لماذا ؟ من \(\dfrac{x_A+x_B}{2}=x_K\) نضرب الطرفين في \(2\) : \(x_A+x_B=2x_K\) ، ثمّ ننقل \(x_A\).
\(\Rightarrow\) \(x_B=2x_K-x_A\) و \(y_B=2y_K-y_A\)
لماذا ؟ من \(\dfrac{x_A+x_B}{2}=x_K\) نضرب الطرفين في \(2\) : \(x_A+x_B=2x_K\) ، ثمّ ننقل \(x_A\).
3️⃣ إثبات أنّ \(K\) منتصفمعطى : الثلاثة. مطلوب : برهان.
\(\Rightarrow\) احسب منتصف \([AB]\) ، ثمّ قل : « وهي بالضبط إحداثيّات \(K\) ».
\(\Rightarrow\) احسب منتصف \([AB]\) ، ثمّ قل : « وهي بالضبط إحداثيّات \(K\) ».
✍️ جرّب بنفسك — \(A(-3\,;\,0)\) و \(B\) بحيث \(O\) منتصف \([AB]\). أوجد \(B\).
\(x_B=2x_O-x_A=2\times 0-(-3)=3\)
\(y_B=2y_O-y_A=0-0=0\)
إذن \(B(3\,;\,0)\).
تحقّق : منتصف \([AB]\) هو \(\left(\dfrac{-3+3}{2}\,;\,0\right)=(0\,;\,0)=O\) ✔
\(y_B=2y_O-y_A=0-0=0\)
إذن \(B(3\,;\,0)\).
تحقّق : منتصف \([AB]\) هو \(\left(\dfrac{-3+3}{2}\,;\,0\right)=(0\,;\,0)=O\) ✔
4الرابط مع التناظر
🔗 نفس الشيء بكلمتين مختلفتين« \(K\) منتصف \([AB]\) » \(\Longleftrightarrow\) « \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(K\) »
كلّما رأيت إحدى العبارتين ، استعمل الأخرى : الصيغة واحدة.
كلّما رأيت إحدى العبارتين ، استعمل الأخرى : الصيغة واحدة.
💡 اختصار مفيد\(B=2K-A\) — يعني : اضرب المنتصف في \(2\) واطرح النقطة المعلومة. لكلّ إحداثيّة على حدة.
5علامات تُطمئنك على جوابك
💡 تحقّق سريع• إذا كانت الفاصلتان متقابلتين \((-3\) و \(3)\) ⟹ فاصلة المنتصف معدومة.
• المنتصف يقع دائما بين الطرفين : إذا خرج عنهما فأنت مخطئ.
• أعد الحساب في الاتّجاه المعاكس : \(2K-A\) يجب أن يعطي \(B\).
• المنتصف يقع دائما بين الطرفين : إذا خرج عنهما فأنت مخطئ.
• أعد الحساب في الاتّجاه المعاكس : \(2K-A\) يجب أن يعطي \(B\).
6🧠 تذكّر
✅ الخلاصة1️⃣ \(K\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\) — اجمع ثمّ اقسم على \(2\).
2️⃣ الطرف الناقص : \(B=2K-A\).
3️⃣ للإثبات : احسب وقارن.
4️⃣ منتصف \(=\) تناظر بالنسبة إلى نقطة.
5️⃣ المنتصف دائما بين الطرفين.
2️⃣ الطرف الناقص : \(B=2K-A\).
3️⃣ للإثبات : احسب وقارن.
4️⃣ منتصف \(=\) تناظر بالنسبة إلى نقطة.
5️⃣ المنتصف دائما بين الطرفين.
Devoirati — درس التعيين في المستوي · الفهرس