المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية
source: RelatMetrique.html | bloc: 5 | extraction: exercise-card
ليكن \( ABCD \) شبه منحرف قائم في \( A \) و \( D \)، حيث \( (AB) \parallel (CD) \).
المعطيات: \( AB = 6 \) سم، \( CD = 11 \) سم، و \( AD = 12 \) سم.
1) ارسم الارتفاع \( BH \) من النقطة \( B \) إلى الضلع \( [CD] \). سيظهر لك مستطيل ومثلث قائم يمكنك العمل عليه.
2) لحساب المسافة من \( A \) إلى \( BC \)، استخدم طريقة حساب المساحة. احسب مساحة المثلث \( \triangle ABC \) بطريقتين مختلفتين.
1) نرسم الارتفاع \( [BH] \) على \( [CD] \). الرباعي \( ABHD \) مستطيل، إذن \( BH = AD = 12 \) و \( DH = AB = 6 \). في المثلث القائم \( \triangle BHC \)، لدينا \( HC = DC - DH = 11 - 6 = 5 \). طبق فيثاغورس في \( \triangle BHC \) لإيجاد \( BC \).
2) المسافة المطلوبة هي الارتفاع \( AK \) في \( \triangle ABC \). مساحة \( \triangle ABC \) يمكن حسابها بطرح مساحة \( \triangle ADC \) من مساحة شبه المنحرف \( ABCD \).
مساحة \( ABCD = \frac{(AB+CD) \times AD}{2} \).
مساحة \( \triangle ADC = \frac{CD \times AD}{2} \).
بعد إيجاد مساحة \( \triangle ABC \)، استخدم الصيغة \( \text{المساحة} = \frac{BC \times AK}{2} \) لعزل \( AK \).
1) حساب \( BC \):
نرسم الارتفاع \( BH \) حيث \( H \in [CD] \). يتكون لدينا المستطيل \( ABHD \) والمثلث القائم \( \triangle BHC \).
• في المستطيل: \( BH = AD = 12 \) سم، و \( DH = AB = 6 \) سم.
• طول قاعدة المثلث القائم: \( HC = DC - DH = 11 - 6 = 5 \) سم.
• في المثلث القائم \( \triangle BHC \)، نطبق فيثاغورس:
\[ BC^2 = BH^2 + HC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \]
\[ BC = \sqrt{169} = 13 \text{ سم} \]
2) حساب المسافة من \( A \) إلى \( BC \):
لتكن \( AK \) هي المسافة المطلوبة (الارتفاع في \( \triangle ABC \)).
• مساحة شبه المنحرف \( ABCD \):
\[ S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \times AD}{2} = \frac{(6 + 11) \times 12}{2} = \frac{17 \times 12}{2} = 102 \text{ سم}^2 \]
• مساحة المثلث \( \triangle ADC \):
\[ S_{ADC} = \frac{CD \times AD}{2} = \frac{11 \times 12}{2} = 66 \text{ سم}^2 \]
• مساحة المثلث \( \triangle ABC \) هي الفرق بينهما:
\[ S_{ABC} = S_{ABCD} - S_{ADC} = 102 - 66 = 36 \text{ سم}^2 \]
• نعلم أن مساحة \( \triangle ABC \) تعطى أيضاً بالعلاقة: \( S_{ABC} = \frac{BC \times AK}{2} \).
\[ 36 = \frac{13 \times AK}{2} \implies 72 = 13 \times AK \]
\[ AK = \frac{72}{13} \approx 5.54 \text{ سم} \]