الدائرة المحاطة بالمثلث القائم تمرين 4

الدائرة المحاطة بالمثلث القائم

تمرين 4

ليكن \( ABC \) مثلث قائم في \( A \). الدائرة التي مركزها \( I \) وشعاعها \( r \) محاطة بهذا المثلث (تمس أضلاعه من الداخل).

أثبت أن شعاع الدائرة المحاطة \( r \) يعطى بالعلاقة: \( r = \frac{AB + AC - BC}{2} \)
إذا كان \( AB = 5 \) سم و \( AC = 12 \) سم، احسب قيمة \( r \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتكن \( D, E, F \) نقاط تماس الدائرة مع الأضلاع \( [AC] \), \( [AB] \), \( [BC] \) على التوالي. ما هي طبيعة الرباعي \( ADIE \)؟ استخدم خاصية المماسين لدائرة من نقطة خارجها (\( BE = BF \)).

📝 الطريقة

1) الرباعي \( ADIE \) له ثلاث زوايا قائمة وهو معين (لأن \( ID=IE=r \))، إذن هو مربع. ينتج \( AD = AE = r \).
لدينا \( AC = AD + DC = r + DC \) و \( AB = AE + EB = r + EB \).
بجمع المعادلتين: \( AB + AC = 2r + DC + EB \).
بما أن \( DC = FC \) و \( EB = FB \) (مماسان من نفس النقطة)، فإن \( DC + EB = FC + FB = BC \).
إذن \( AB + AC = 2r + BC \). قم بعزل \( r \) للحصول على العلاقة.
2) احسب أولاً طول الوتر \( BC \) باستخدام فيثاغورس، ثم طبق العلاقة.

✅ الحل الكامل

1) إثبات العلاقة:
لتكن \( D, E, F \) نقاط التماس على \( [AC], [AB], [BC] \). الرباعي \( ADIE \) هو مربع لأن زواياه قائمة وضلعان متجاوران \( ID, IE \) متساويان (شعاعان). إذن \( AD = AE = r \).
من خصائص المماسات، لدينا: \( CD = CF \) و \( BE = BF \).
يمكننا كتابة:
\( AB = AE + EB = r + BF \)
\( AC = AD + DC = r + CF \)
بجمع السطرين: \( AB + AC = 2r + BF + CF \)
وبما أن \( BF + CF = BC \)، فإن \( AB + AC = 2r + BC \).
إذن \( 2r = AB + AC - BC \)، ومنه \( r = \frac{AB + AC - BC}{2} \).
2) الحساب:
• أولاً، نحسب \( BC \): \( BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \). إذن \( BC = 13 \) سم.
• نطبق العلاقة: \( r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) سم.

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل