علاقة الارتفاع بالمسقطين تمرين 3

علاقة الارتفاع بالمسقطين

تمرين 3

في المثلث القائم \( ABC \) القائم في \( A \)، والارتفاع \( AH \) حيث \( H \) هي المسقط العمودي لـ \(A\) على \( [BC] \).

أثبت العلاقة: \( AH^2 = BH \times CH \)
إذا كان \( BH = 4 \) سم و \( CH = 9 \) سم، احسب أطوال \( AH \)، \( AB \)، \( AC \) و \( BC \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

يمكنك إثبات العلاقة باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلثات الثلاثة القائمة: \( \triangle ABH \)، \( \triangle ACH \) و \( \triangle ABC \). أو بطريقة أسرع، استخدم تشابه المثلثين \( \triangle ABH \) و \( \triangle CAH \).

📝 الطريقة

1) أثبت أن \( \angle BAH = \angle C \) (كلاهما متمم لـ \( \angle B \)). بما أن \( \angle AHB = \angle CHA = 90^\circ \)، فإن المثلثين \( \triangle ABH \) و \( \triangle CAH \) متشابهان. اكتب نسب الأضلاع المتناظرة \( \frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH} \) واستنتج العلاقة.
2) استخدم العلاقة لحساب \( AH \). ثم احسب \( BC = BH + CH \). وأخيراً، استخدم نظريات إقليدس (\( AB^2 = BH \times BC \) و \( AC^2 = CH \times BC \)) لحساب \( AB \) و \( AC \).

✅ الحل الكامل

1) إثبات العلاقة:
في \( \triangle ABH \)، لدينا \( \angle BAH + \angle B = 90^\circ \). وفي \( \triangle ABC \)، لدينا \( \angle C + \angle B = 90^\circ \). إذن \( \angle BAH = \angle C \).
بمقارنة \( \triangle ABH \) و \( \triangle CAH \)، لدينا \( \angle BAH = \angle C \) و \( \angle AHB = \angle CHA = 90^\circ \). إذن المثلثان متشابهان.
من التشابه: \( \frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH} \implies AH^2 = BH \times CH \).
2) الحساب:
• \( AH^2 = 4 \times 9 = 36 \implies AH = 6 \) سم.
• \( BC = BH + CH = 4 + 9 = 13 \) سم.
• \( AB^2 = BH \times BC = 4 \times 13 = 52 \implies AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \) سم.
• \( AC^2 = CH \times BC = 9 \times 13 = 117 \implies AC = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \) سم.

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل