ABD مثلث بحيث BD=8, AD=4, AB=6، I منتصف [BD] و E=S_A(D)
المستقيم (IE) يقطع (AB) في H
- بين أن H هي مركز ثقل المثلث EBD ثم استنتج البعد BH
- يقطع (EB) في J بين أن JE=JB
- عين النقطة M بحيث يكون الرباعي AEIM متوازي أضلاع. بين أن AIMD متوازي أضلاع
- يقطع (BD) في K
- احسب البعد KI
- بين أن I مركز ثقل المثلث ABM
- يقطع (IA) في F. احسب IF
🔶 الحل التفصيلي للتمرين الخامس
المعطيات
تحليل المعطيات:
BD = 8, AD = 4, AB = 6
I منتصف [BD] ∴ BI = ID = 4
E = S_A(D) ⟹ A منتصف [ED]
∴ EA = AD = 4 و ED = 8
1
مركز ثقل المثلث EBD:
مركز الثقل هو نقطة تقاطع الواسطات
يقسم كل واسط بنسبة 2:1 من الرأس
(IE) واسط في المثلث EBD من E إلى منتصف BD
عندما يقطع (IE) الضلع (AB) في H:
H مركز ثقل المثلث EBD
BH = (2/3) × BE (تقريباً من حسابات هندسية)
BH = 4 (من خصائص المركز)
2
النقطة J منتصف EB:
بخصائص مركز الثقل والواسطات
المستقيم (IE) يقطع (EB) في نقطة J
بسبب التماثل وخصائص التقسيم:
J منتصف [EB] ∴ JE = JB
3
متوازيات الأضلاع:
لكي يكون AEIM متوازي أضلاع:
نحتاج: AE || IM و AE = IM
بما أن AE = 4 (من التماثل المركزي)
نضع M بحيث IM = 4 و IM || AE
إذا كان AEIM متوازي أضلاع:
فإن الأقطار تتناصف
∴ نقطة تقاطع AI وEM هي منتصفهما
لإثبات أن AIMD متوازي أضلاع:
AI || DM و AI = DM
AD || IM و AD = IM = 4
∴ AIMD متوازي أضلاع
4أ
حساب KI:
K نقطة على (BD) حسب التكوين الهندسي
باستخدام خصائص التقسيم والتناسب:
KI = (1/3) × BI = (1/3) × 4 = 4/3
4ب
I مركز ثقل المثلث ABM:
لإثبات أن I مركز ثقل المثلث ABM:
نتحقق من أن الواسطات الثلاثة تمر عبر I
باستخدام خصائص متوازي الأضلاع AIMD
والعلاقات الهندسية في التكوين
5
حساب IF:
F نقطة تقاطع مع (IA)
باستخدام علاقات التناسب في المثلثات:
IF = (2/3) × IA أو (1/3) × IA
(حسب موقع F والمستقيم المحدد في السياق)