🔶 الحل التفصيلي للتمرين الرابع
1
إثبات أن OEAF معين:
الواسط العمودي لقطعة يضم جميع النقاط التي تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة
E وF على الواسط العمودي لـ [OA]
∴ EO = EA و FO = FA
E وF على الدائرة (C): EO = FO = 4
من خاصية الواسط: EA = EO = 4 و FA = FO = 4
∴ EO = EA = FO = FA = 4
جميع أضلاع OEAF متساوية ⟹ OEAF معين
2أ
حساب EF:
في المعين OEAF، المثلث EOA متقايس الأضلاع
(جميع أضلاعه = 4)
∴ الزاوية EOA = 60°
في المثلث متقايس الأضلاع، الارتفاع = ضلع × √3/2
نصف EF = ارتفاع المثلث المتقايس الأضلاع ذي الضلع 4، أي 4 × √3/2 = 2√3
∴ EF = 2 × 2√3 = 4√3
2ب
مساحة المعين:
مساحة المعين = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
= ½ × OA × EF = ½ × 4 × 4√3 = 8√3
2ج
حساب ME:
M المسقط العمودي للنقطة E على [OF]
في المثلث متقايس الأضلاع EOA:
الزاوية EOF = 30° (نصف الزاوية EOA)
ME = نصف الوتر EO، أي 4 ÷ 2 = 2
3
المماس والمستطيل:
المماس للدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
المماس في A عمودي على OA
باستخدام خصائص المعين والعمودية:
- المماس ⊥ OA
- B مسقط E على المماس
- خصائص التوازي في المعين
∴ ABEI مستطيل
BE = AI = نصف قطر المعين = 2√3