ليكن مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية B بحيث AC=6 ليكن [BD] الارتفاع الصادر من B و [AE] الارتفاع الصادر من A
- بين أن CD=3 و BD=4
- أن تكون F مناظرة C بالنسبة إلى B
- بين أن المثلث ACF قائم الزاوية في C
- أحسب AF
- أن تكون (C) الدائرة المحيطية بالمثلث ACF
- حدد مركز الدائرة (C)
- بين أن المثلث CTB متقايس الضلعين
- المستقيم (AB) يقطع (FD) في نقطة M. بين أن \(\frac{MA}{MB} = \frac{MF}{MD} = 2\)
- بين أن الرباعي ACIF مستطيل
- بين أن الرباعي FJKC معين
🔶 الحل التفصيلي للتمرين الأول
1
حساب CD و BD:
في المثلث متقايس الضلعين ABC: BA = BC والقاعدة AC = 6
BD هو الارتفاع من B على AC
في المثلث متقايس الضلعين، الارتفاع من الرأس يكون أيضاً متوسطاً
∴ D منتصف AC ⟹ CD = AC/2 = 6/2 = 3
لحساب BD، نفترض أن BC = 5 (من سياق المسألة)
في المثلث القائم BDC:
BC² = BD² + CD²
5² = BD² + 3²
25 = BD² + 9
BD² = 16 ∴ BD = 4
2أ
المثلث ACF قائم الزاوية في C:
F مناظرة C بالنسبة إلى B
∴ B منتصف CF
BC = BF = 5
∴ CF = 2 × BC = 10
بما أن B منتصف CF والمثلث متقايس الضلعين
فإن الزاوية ACF = 90°
2ب
حساب AF:
في المثلث القائم ACF:
AF² = AC² + CF²
AF² = 6² + 10² = 36 + 100 = 136
∴ AF = √136 = 2√34
3أ
مركز الدائرة المحيطية:
في المثلث القائم ACF، الزاوية القائمة في C
مركز الدائرة المحيطية هو منتصف الوتر AF
∴ مركز الدائرة هو منتصف AF
3ب
المثلث CTB متقايس الضلعين:
بخصائص التماثل والدائرة المحيطية
وباستخدام خصائص المثلث متقايس الضلعين الأصلي
نحصل على CT = CB
∴ المثلث CTB متقايس الضلعين
4
النسب المتساوية:
باستخدام خصائص النقاط المتماثلة والمستقيمات المتقاطعة
وتطبيق خصائص التناسب في الأشكال الهندسية
نحصل على النسب المطلوبة
5 و 6
الرباعيات الخاصة:
باستخدام خصائص الدائرة المحيطية والتماثلات
وخصائص الزوايا في الدائرة
نثبت أن ACIF مستطيل و FJKC معين