قانون متوازي الأضلاع تمرين 5

قانون متوازي الأضلاع

تمرين 5

في متوازي الأضلاع ABCD، إذا كان \(AB = 15\text{cm}\)، \(AD = 10\text{cm}\)، والقطر \(BD = 17\text{cm}\)، أحسب طول القطر AC.

التقدم: لم تبدأ بعد

استخدم قانون متوازي الأضلاع (أو نظرية أبولونيوس) التي تربط بين أطوال الأضلاع وأطوال القطرين: مجموع مربعي القطرين يساوي مجموع مربعي الأضلاع الأربعة.

1. كتابة القانون: \(AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2\).

2. تبسيط القانون: بما أن الأضلاع المتقابلة متساوية، يمكن تبسيط القانون إلى: \(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\).

3. التعويض بالقيم: عوض بالقيم المعلومة لـ AB, AD, و BD.

4. حل المعادلة: حل المعادلة لإيجاد قيمة \(AC^2\) ثم احسب AC.

حسب قانون متوازي الأضلاع، مجموع مربعي القطرين يساوي ضعف مجموع مربعي ضلعين متجاورين:

\[AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\]

نعوض بالقيم المعطاة:

\[AC^2 + 17^2 = 2(15^2 + 10^2)\]

\[AC^2 + 289 = 2(225 + 100)\]

\[AC^2 + 289 = 2(325)\]

\[AC^2 + 289 = 650\]

ننقل 289 إلى الطرف الآخر:

\[AC^2 = 650 - 289 = 361\]

نأخذ الجذر التربيعي:

\[AC = \sqrt{361} = 19 \text{ cm}\]

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس