الارتفاع والدائرة المحيطة تمرين 3

الارتفاع والدائرة المحيطة

تمرين 3

في المثلث ABC القائم في A، إذا كان الارتفاع \(AH = 12\text{cm}\) ونصف قطر الدائرة المحيطة به هو 15cm، أحسب محيط المثلث ABC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي العلاقة بين نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث قائم ووتره؟ استخدم هذه العلاقة لإيجاد BC. ثم استخدم العلاقتين المتريتين في المثلث القائم: علاقة بيتاغور وعلاقة المساحة (\(AH \times BC = AB \times AC\)).

📝 الطريقة

إيجاد طول الوتر BC: في مثلث قائم، الوتر هو قطر الدائرة المحيطة. \(BC = 2 \times \text{نصف القطر}\).
إيجاد جداء الضلعين AB.AC: استخدم علاقة المساحة: \(\text{Area} = \frac{AH \times BC}{2} = \frac{AB \times AC}{2}\).
إيجاد مجموع الضلعين AB+AC: استخدم المتطابقة الهامة \((AB + AC)^2 = AB^2 + AC^2 + 2(AB \times AC)\) وعوض بـ \(AB^2+AC^2=BC^2\).
حساب المحيط: المحيط = (AB + AC) + BC.

✅ الحل الكامل

1. حساب طول الوتر BC:

مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم هو منتصف الوتر، وقطرها هو الوتر نفسه. إذن:

\[BC = 2 \times \text{نصف القطر} = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}\]

2. إيجاد جداء الضلعين AB و AC:

العلاقة المترية بين الارتفاع والأضلاع في مثلث قائم هي \(AH \times BC = AB \times AC\).

\[AB \times AC = 12 \times 30 = 360\]

3. إيجاد مجموع الضلعين AB و AC:

لدينا \(AB^2 + AC^2 = BC^2 = 30^2 = 900\) (مبرهنة بيتاغور).

نستخدم المتطابقة الهامة:

\[(AB + AC)^2 = (AB^2 + AC^2) + 2(AB \times AC)\]

\[(AB + AC)^2 = 900 + 2(360) = 900 + 720 = 1620\]

\[AB + AC = \sqrt{1620} = \sqrt{324 \times 5} = 18\sqrt{5} \text{ cm}\]

4. حساب المحيط:

\[\text{المحيط} = (AB + AC) + BC = 18\sqrt{5} + 30 \text{ cm}\]

محيط المثلث ABC هو \((30 + 18\sqrt{5})\) cm (حوالي 70.25 cm).

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل