سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

التمرين 6

إثبات التعامد باستخدام خاصية المركز القائم (Orthocentre):

لنبين أن \(J\) هي المركز القائم (نقطة تلاقي الارتفاعات) للمثلث \(HLE\). للقيام بذلك، نثبت أن مستقيمين من الارتفاعات يتقاطعان في \(J\).

1. الارتفاع الأول: المستقيم \((HE)\) هو مستقيم أفقي لأن \(y_H = y_E = \sqrt{2}+1\). المستقيم \((LJ)\) هو جزء من محور التراتيب \((OJ)\)، وهو مستقيم عمودي. بما أن المستقيم الأفقي عمودي على المستقيم العمودي، فإن \((LJ) \perp (HE)\). إذن، المستقيم \((LJ)\) هو الارتفاع الصادر من الرأس \(L\) في المثلث \(HLE\).
2. الارتفاع الثاني: لنثبت أن المستقيم \((HJ)\) عمودي على المستقيم \((LE)\). سنستخدم نظرية فيتاغورس العكسية في المثلث \(HJE\).

   نحسب أطوال أضلاع المثلث \(HJE\):

   • \(HJ^2 = 4\) (حسبناها في السؤال 5.ج).
   • \(JE^2 = 10\) (حسبناها في السؤال 3.هـ).
   • \(HE^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18\) (حسبناها في السؤال 5.أ).

   نلاحظ أن \(HJ^2 + JE^2 = 4 + 10 = 14\). وهذا لا يساوي \(HE^2 = 18\). إذن، المثلث \(HJE\) ليس قائمًا في \(J\).

   طريقة بديلة (باستخدام فيتاغورس العكسية في \(\triangle HJL\)):

   لدينا إحداثيات النقاط: \(H(-\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\), \(J(0,1)\), \(L(0, 1-\sqrt{2})\). نحسب أطوال أضلاع المثلث \(HJL\):

   • \(HJ^2 = (0-(-\sqrt{2}))^2 + (1-(\sqrt{2}+1))^2 = (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 2+2=4\).
   • \(JL^2 = (0-0)^2 + ((1-\sqrt{2})-1)^2 = 0 + (-\sqrt{2})^2 = 2\).
   • \(HL^2 = (0-(-\sqrt{2}))^2 + ((1-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1))^2 = (\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2 = 2+8=10\).
   نلاحظ أن \(HJ^2 + JL^2 = 4 + 2 = 6\), وهذا لا يساوي \(HL^2=10\).

تصحيح المنهجية: الطريقة التي تستخدم المركز القائم صحيحة، لكن إثبات أن \((HJ) \perp (LE)\) يتطلب إما الجداء السلمي (كما في النسخة السابقة) أو حسابات أكثر تعقيدًا. بما أن الجداء السلمي هو الأداة الأنسب هنا، سنعود إليه لأنه الأوضح والأكثر مباشرة لإثبات التعامد الثاني.

حل باستخدام الجداء السلمي (الطريقة المثلى):

1. \((LJ) \perp (HE)\) كما بينا أعلاه. إذن \((LJ)\) ارتفاع.
2. نحسب الجداء السلمي \(\vec{HJ} \cdot \vec{LE}\). لدينا \(\vec{HJ}(\sqrt{2}, -\sqrt{2})\) و \(\vec{LE} = \vec{CE} = (\sqrt{2}+1, \sqrt{2}+1)\). \(\vec{HJ} \cdot \vec{LE} = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) - \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 0\). إذن \((HJ) \perp (LE)\). \((HJ)\) هو ارتفاع ثان.

بما أن الارتفاعين \((LJ)\) و \((HJ)\) يتقاطعان في \(J\)، فإن \(J\) هي المركز القائم للمثلث \(HLE\). وبالتالي، الارتفاع الثالث للمثلث، وهو \((EJ)\)، يجب أن يكون عموديًا على الضلع المقابل \((HL)\). إذن، \((EJ) \perp (HL)\).