سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

التمرين 7

أ/ \(K\) مناظرة \(H\) بالنسبة لـ \(A\)، إذن \(A\) منتصف \([HK]\). \(x_A = \frac{x_H+x_K}{2} \implies -2 = \frac{-\sqrt{2}+x_K}{2} \implies x_K = \sqrt{2}-4\). \(y_A = \frac{y_H+y_K}{2} \implies 0 = \frac{\sqrt{2}+1+y_K}{2} \implies y_K = -1-\sqrt{2}\). إذن \(K(\sqrt{2}-4, -1-\sqrt{2})\).

ب/ إثبات الاستقامية باستخدام خاصية مركز الثقل (Centre de gravité):

نعتبر المثلث \(HBK\).

1. بما أن \(A\) منتصف \([HK]\)، فإن \((BA)\) هو المتوسط الصادر من \(B\) في \(\triangle HBK\).
2. النقطة \(C\) تنتمي للمتوسط \((BA)\). نحسب النسبة: \(\frac{BC}{BA} = \frac{2\sqrt{2}+2}{3\sqrt{2}+3} = \frac{2(\sqrt{2}+1)}{3(\sqrt{2}+1)} = \frac{2}{3}\). إذن \(C\) تقع على المتوسط \((BA)\) وتبعد عن الرأس \(B\) بثلثي طوله. هذه هي خاصية مركز الثقل.

\(C\) هي مركز الثقل للمثلث \(HBK\). إذن \(C\) تنتمي للمتوسط الثالث \((HM)\) (حيث \(M\) منتصف \([BK]\)). وبالتالي، النقاط \(H\), \(C\), و \(M\) على استقامة واحدة.