سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

التمرين 5

أ/ H هي تقاطع \((IJ)\) (معادلته \(y=-x+1\)) و \((EF)\) (معادلته \(y=\sqrt{2}+1\)). \(\sqrt{2}+1 = -x_H+1 \implies x_H = -\sqrt{2}\). إذن \(H(-\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\). \(HE = |x_E-x_H| = |2\sqrt{2} - (-\sqrt{2})| = 3\sqrt{2}\).

ب/ \(\vec{BE} = (x_E-x_B, y_E-y_B) = (2\sqrt{2}-(3\sqrt{2}+1), \sqrt{2}+1-0) = (-\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1)\). \(\vec{IH} = (x_H-x_I, y_H-y_I) = (-\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1-0) = (-\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1)\). بما أن \(\vec{BE}=\vec{IH}\)، فإن \(BEHI\) متوازي أضلاع. المحيط = \(2(BE+EH) = 2((2+\sqrt{2})+3\sqrt{2}) = 4+8\sqrt{2}\). المساحة = القاعدة \(EH\) × الارتفاع \(y_H = 3\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 6+3\sqrt{2}\).

ج/ \(HJ^2 = (x_J-x_H)^2+(y_J-y_H)^2 = (0-(-\sqrt{2}))^2 + (1-(\sqrt{2}+1))^2 = (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 4\). إذن \(HJ=2\).

د/ إحداثيات H هي \(H(-\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\).