سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

التمرين 3

أ/ D منتصف \([BC]\). \(x_D = \frac{(\sqrt{2}-1)+(3\sqrt{2}+1)}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\). إذن \(D(2\sqrt{2}, 0)\).

ب/ في \(\triangle AJO\)، لدينا \(D \in (AO)\), \(E \in (AJ)\) و \((DE) \parallel (OJ)\) (لأن كلاهما عمودي على \((OI)\)). حسب طاليس: \(\frac{AD}{AO} = \frac{DE}{OJ}\). \(AO=2\), \(AD = |x_D-x_A| = |2\sqrt{2}-(-2)|=2\sqrt{2}+2\), \(OJ=1\). \(\frac{2\sqrt{2}+2}{2} = \frac{DE}{1} \implies DE = \sqrt{2}+1\).

ج/ D منتصف \([BC]\). \(DB = |x_B-x_D| = \sqrt{2}+1\). إذن \(DE=DB=DC\). في المثلث \(BCE\)، الموسط \([DE]\) المتعلق بالضلع \([BC]\) طوله يساوي نصف طول هذا الضلع. إذن المثلث \(BCE\) قائم في \(E\) ومتقايس الضلعين لأن \(DE\) هو موسط وارتفاع في نفس الوقت.

د/ في المثلث \(BDE\) القائم في \(D\): \(BE^2 = BD^2 + DE^2 = (\sqrt{2}+1)^2 + (\sqrt{2}+1)^2 = 2(\sqrt{2}+1)^2\). إذن \(BE = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 2+\sqrt{2}\). المحيط = \(BC + BE + CE = (2\sqrt{2}+2) + (2+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) = 6 + 4\sqrt{2}\). المساحة = \(\frac{1}{2}BE \cdot CE = \frac{1}{2}(2+\sqrt{2})^2 = 3+2\sqrt{2}\).

ه/ \(JA^2 = (-2-0)^2+(0-1)^2 = 5 \implies JA=\sqrt{5}\). إحداثيات \(E\) هي \((x_D, DE)\) إذن \(E(2\sqrt{2}, \sqrt{2}+1)\). \(JE^2 = (2\sqrt{2}-0)^2 + (\sqrt{2}+1-1)^2 = 8+2=10 \implies JE=\sqrt{10}\). \(\frac{JE}{JA} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}\).