سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

source: Exe_PythSerie3.html | bloc: 2 | extraction: exercise-card

المثلث متساوي الأضلاع تمرين 4
المثلث متساوي الأضلاع
تمرين 4

ABC مثلث متساوي الأضلاع بحيث \( AB=6 \). [AH] ارتفاعه الصادر من A. D نقطة من [AC] بحيث \( CD=2 \) و E المسقط العمودي لـ D على (BC) و F المسقط العمودي لـ D على (AH).

  1. احسب AH ثم EC و ED.
  2. بين أن F هي مركز ثقل المثلث ADC. (ملاحظة: السؤال الأصلي قد يكون خاطئاً، سنحل للسؤال المصحح).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. لحساب AH: في المثلث متساوي الأضلاع، الارتفاع هو أيضاً متوسط. استخدم بيتاغور في المثلث القائم AHC.

لحساب EC و ED: استخدم نظرية طاليس في المثلث AHC مع المستقيم الموازي (DE).

📝 الطريقة

1. حساب AH: H منتصف [BC]، إذن \(HC=3\). في المثلث AHC القائم في H، \(AC^2 = AH^2 + HC^2\).

2. حساب EC و ED: في المثلث AHC، \((DE) // (AH)\) لأنهما عموديان على (BC). طبق طاليس: \(\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CH} = \frac{DE}{AH}\).

3. مركز الثقل: لإثبات أن F مركز ثقل ADC، يجب أن نثبت أنها تقاطع موسطين. [DF] موسط؟ لا. [AF] موسط؟ لا. السؤال الأصلي غير صحيح. سنثبت أن F منتصف [AH].

✅ الحل الكامل

1. حساب AH, EC, ED:

H منتصف [BC] \(\Rightarrow HC=3\). في المثلث AHC القائم في H:

\[AH^2 = AC^2 - HC^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 \Rightarrow AH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

في المثلث AHC، لدينا \((DE) // (AH)\). حسب طاليس:

\[\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CH} = \frac{DE}{AH}\]
\[\frac{2}{6} = \frac{CE}{3} = \frac{DE}{3\sqrt{3}}\]

منه: \(CE = \frac{2 \times 3}{6} = 1\) و \(DE = \frac{2 \times 3\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\).

2. طبيعة F:

الرباعي HEDF له ثلاث زوايا قائمة (في H, E, F)، إذن هو مستطيل. وبالتالي \(HF = DE = \sqrt{3}\). لدينا \(AH = 3\sqrt{3}\). إذن \(AF = AH - HF = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). النسبة \(\frac{AF}{AH} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\). F ليست مركز ثقل المثلث ABC، ولكنها النقطة التي تقسم الارتفاع [AH] بنسبة 2:1.