سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

source: Exe_PythSerie1.html | bloc: 2 | extraction: exercise-card

مثلث داخل مستطيل تمرين 2
مثلث داخل مستطيل
تمرين 2

نعتبر المستطيل ABCD حيث \( AB=7 \) و \( BC=4 \). I نقطة من [AB] و J نقطة من [BC] بحيث \( BI=4 \) و \( BJ=3 \).

  1. احسب \( IJ \), \( ID \), و \( JD \).
  2. بين أن المثلث IJD قائم الزاوية ومتساوي الساقين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم مبرهنة بيتاغور في ثلاثة مثلثات قائمة مختلفة لحساب الأطوال الثلاثة المطلوبة. لإثبات أن المثلث IJD قائم، استخدم المبرهنة العكسية.

📝 الطريقة

1. حساب IJ: طبق بيتاغور في المثلث IBJ القائم في B.

2. حساب ID: احسب أولاً AI. ثم طبق بيتاغور في المثلث IAD القائم في A.

3. حساب JD: احسب أولاً JC. ثم طبق بيتاغور في المثلث JCD القائم في C.

4. إثبات أن IJD قائم ومتساوي الساقين: قارن بين \(ID^2\) و \(JD^2\). ثم قارن \(ID^2 + JD^2\) بـ \(IJ^2\).

✅ الحل الكامل

1. حساب الأطوال:

  • في المثلث IBJ القائم في B:
    \[IJ^2 = IB^2 + BJ^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow IJ = 5\]
  • في المثلث IAD القائم في A: \(AI = AB - IB = 7 - 4 = 3\).
    \[ID^2 = IA^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow ID = 5\]
  • في المثلث JCD القائم في C: \(JC = BC - BJ = 4 - 3 = 1\).
    \[JD^2 = JC^2 + CD^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50 \Rightarrow JD = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

2. طبيعة المثلث IJD:

من الحسابات السابقة، نلاحظ أن \(IJ = ID = 5\). إذن، المثلث IJD متساوي الساقين في I.

لنتحقق من المبرهنة العكسية لبيتاغور. أطول ضلع هو [JD].

  • \(JD^2 = 50\).
  • \(IJ^2 + ID^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\).

بما أن \(JD^2 = IJ^2 + ID^2\)، فإن المثلث IJD قائم الزاوية في I.