سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

المستوى: التاسعة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

source: Exe_PythSerie1.html | bloc: 1 | extraction: exercise-card

شبه منحرف قائم تمرين 1
شبه منحرف قائم
تمرين 1

نعتبر شبه منحرف ABCD قائم في A و D حيث \( AB=2 \), \( AD=6 \), \( CD=4.5 \) (بالسنتيمتر).

  1. لتكن H المسقط العمودي للنقطة B على (CD). ما هي طبيعة الرباعي ABHD؟ احسب BC.
  2. لتكن E منتصف [AD]. بين أن المثلث EBC قائم الزاوية.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. لحساب BC: أنشئ مثلثًا قائمًا وتره [BC]. يمكنك فعل ذلك بحساب طول [CH].

2. لإثبات أن EBC قائم: استخدم مبرهنة بيتاغور العكسية. ستحتاج إلى حساب مربعات أطوال أضلاعه الثلاثة: \(EB^2\), \(EC^2\), و \(BC^2\).

📝 الطريقة

1. طبيعة ABHD وحساب BC:

  • الرباعي ABHD له ثلاث زوايا قائمة (في A, D, H)، إذن هو مستطيل.
  • استنتج أن \(DH=AB=2\) و \(BH=AD=6\).
  • احسب \(HC = DC - DH\).
  • في المثلث BHC القائم في H، طبق بيتاغور لحساب BC.

2. إثبات أن المثلث EBC قائم:

  • احسب \(EB^2\) في المثلث القائم EAB.
  • احسب \(EC^2\) في المثلث القائم EDC.
  • قارن \(EB^2 + EC^2\) بـ \(BC^2\) الذي حسبته في السؤال الأول.

✅ الحل الكامل

1. طبيعة ABHD وحساب BC:

الرباعي ABHD له الزوايا القائمة في A و D (معطى) وفي H (لأن H مسقط عمودي). إذن ABHD مستطيل.

من خصائص المستطيل: \(DH = AB = 2\) و \(BH = AD = 6\).

نحسب HC: \(HC = DC - DH = 4.5 - 2 = 2.5 \text{ cm}\).

في المثلث BHC القائم في H، حسب بيتاغور:

\[BC^2 = BH^2 + HC^2 = 6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25\]
\[BC = \sqrt{42.25} = 6.5 \text{ cm}\]

2. إثبات أن المثلث EBC قائم:

E منتصف [AD]، إذن \(AE = ED = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}\).

  • في المثلث EAB القائم في A: \(EB^2 = EA^2 + AB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\).
  • في المثلث EDC القائم في D: \(EC^2 = ED^2 + DC^2 = 3^2 + 4.5^2 = 9 + 20.25 = 29.25\).

الآن نجمع مربعي الضلعين:

\[EB^2 + EC^2 = 13 + 29.25 = 42.25\]

لقد وجدنا في السؤال الأول أن \(BC^2 = 42.25\). بما أن \(BC^2 = EB^2 + EC^2\)، فإنه حسب مبرهنة بيتاغور العكسية، المثلث EBC قائم الزاوية في E.