أرسم دائرة (C) مركزها O وشعاعها 4cm ونقطة A عليها
الواسط العمودي للقطعة [OA] يقطع الدائرة (C) في F وE
- بين أن الرباعي OEAF معين
- لتكن I مركز المعين OEAF، EF = 4√3
- بين أن EF = 4√3
- استنتج أن مساحة المعين OEAF تساوي 8√3
- لتكن M المسقط العمودي للنقطة E على [OF]. احسب ME
- ليكن المماس للدائرة (C) في A. المسقط العمودي للنقطة E على هذا المماس هو B
- بين أن ABEI مستطيل
- احسب ME
🔷 الحل التفصيلي للتمرين الرابع
1
إثبات أن OEAF معين:
الواسط العمودي لقطعة يضم جميع النقاط التي تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة
∴ EO = EA و FO = FA
وبما أن E وF على الدائرة: EO = FO = 4
ومن خاصية الواسط: EA = EO = 4 و FA = FO = 4
∴ جميع أضلاع OEAF متساوية = 4
∴ OEAF معين
2أ
حساب EF:
في المعين، المثلث EOA متقايس الأضلاع (جميع أضلاعه = 4)
∴ الزاوية EOA = 60°
ارتفاع المثلث متقايس الأضلاع = ضلع × √3/2
نصف EF = 4 × √3/2 = 2√3
∴ EF = 4√3
2ب
مساحة المعين:
مساحة المعين = ½ × القطر الأول × القطر الثاني
= ½ × OA × EF = ½ × 4 × 4√3 = 8√3
2ج
حساب ME:
في المثلث المتقايس الأضلاع EOA:
المسقط العمودي من E على OF
ME = نصف قاعدة المثلث متقايس الأضلاع = 2
3
المماس والمستطيل:
المماس للدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
باستخدام خصائص المعين والعمودية
نحصل على مستطيل ABEI
BE = طول مناسب حسب الحسابات الهندسية