1 المستطيل والعلاقات المترية

المستطيل والعلاقات المترية

ليكن $$ABCD$$ مستطيلا حيث $AB = 6\sqrt{2}$ cm و $$AD=6$$ cm و $$O$$ منتصف $$[CD]$$ . ولتكن $$E$$ نقطة تقاطع $$(AB)$$ والمستقيم المار من $$O$$ والموازي للقطر $$[AC]$$ .

بيّن أن $AC = 6\sqrt{3}$ cm و $BO = 3\sqrt{6}$ cm.
1. بيّن أن الرباعي $$ACOE$$ متوازي أضلاع.
2. بيّن أن $BE = 9\sqrt{2}$ cm.
3. استنتج أن المثلث $$OBE$$ قائم الزاوية.
لتكن $I$ منتصف $[AB]$ و $M$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(OB)$.
1. احسب $$AM$$ ثم استنتج $$MB$$ .
2. احسب $$MI$$ .

الحل المفصل للتمرين الأول

📋 السؤال الأول: حساب AC و BO

حساب AC: بما أن $$ABCD$$ مستطيل، فإن المثلث $$ABC$$ قائم في $$B$$ . بتطبيق مبرهنة بيتاغور: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 6^2 = 72 + 36 = 108$ إذن، $AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ cm.
حساب BO: المثلث $$OBC$$ قائم في $$C$$ . لدينا $$O$$ منتصف $$[CD]$$ و $CD = AB = 6\sqrt{2}$ ، إذن $OC = \frac{CD}{2} = 3\sqrt{2}$ . $BO^2 = OC^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 6^2 = 18 + 36 = 54$ إذن، $BO = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ cm.

📐 السؤال الثاني أ: إثبات أن ACOE متوازي أضلاع

لدينا $(OE) \parallel (AC)$ (حسب معطيات التمرين).
بما أن $$ABCD$$ مستطيل، فإن $(AB) \parallel (CD)$ . وبما أن $E \in (AB)$ و $O \in (CD)$ و $C \in (CD)$ ، فإن $(AE) \parallel (OC)$ .
الرباعي $ACOE$ له كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن هو متوازي أضلاع.

📏 السؤال الثاني ب: حساب BE

بما أن $$ACOE$$ متوازي أضلاع، فإن $AE = OC = 3\sqrt{2}$ .
النقطة $$E$$ تقع على امتداد $$[AB]$$ خارج المستطيل، إذن $$BE = BA + AE$$ . $BE = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

🔺 السؤال الثاني ج: إثبات أن المثلث OBE قائم الزاوية

نستخدم المبرهنة العكسية لبيتاغور. نحسب مربع كل ضلع في المثلث $$OBE$$ : $BE^2 = (9\sqrt{2})^2 = 162$ $$BO^2 = 54$ (من السؤال 1)$ $$OE^2 = AC^2 = 108$ (لأن $ACOE$ متوازي أضلاع)$
نتحقق من العلاقة: $$BO^2 + OE^2 = 54 + 108 = 162$$ .
بما أن $$BO^2 + OE^2 = BE^2$$ ، فإن المثلث $OBE$ قائم الزاوية في $O$.

📊 السؤال الثالث أ: حساب AM و MB

في المثلث $$EOB$$ ، لدينا $A \in (EB)$ ، $M \in (OB)$ ، والمستقيم $$(AM)$$ (وهو جزء من $$(AC)$$ ) يوازي $$(OE)$$ (لأن $$ACOE$$ متوازي أضلاع).
بتطبيق مبرهنة طاليس: $\frac{BA}{BE} = \frac{BM}{BO} = \frac{AM}{OE}$
حساب AM: $AM = \frac{BA \times OE}{BE} = \frac{6\sqrt{2} \times 6\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = 4\sqrt{3}$
حساب MB: نحسب أولاً $$BM$$ : $BM = \frac{BA \times BO}{BE} = \frac{6\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{12}}{9\sqrt{2}} = \frac{18 \times 2\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$ ثم نحسب $$MB$$ في المثلث $$AMB$$ باستخدام إحداثيات نقطة $$M$$ .

📐 السؤال الثالث ب: حساب MI

لحساب $$MI$$ ، نستخدم إحداثيات النقط في معلم مناسب أو نطبق خواص المثلثات.
بوضع $$B$$ في الأصل و $$A$$ على المحور الأفقي، يمكن حساب إحداثيات جميع النقط ومن ثم حساب $$MI$$ .
بعد الحسابات المفصلة (التي تتطلب استخدام الإحداثيات)، نجد $MI = 3\sqrt{2}$.

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين الأول