2 المثلث القائم والعلاقات المترية

المثلث القائم والعلاقات المترية

نعتبر مثلثا $$ABC$$ قائم الزاوية في $$C$$ حيث $$AB=6$$ و $$AC=3$$ . (وحدة قيس الطول هي الصنتمتر).

بيّن أن $BC = 3\sqrt{3}$ .
ابن النقطة $$O$$ من القطعة $$[BC]$$ حيث $OC = \frac{1}{6} BC$ . وعين النقطة $$I$$ من $$[BA]$$ حيث $$AI=2$$ . ثم ابن المستقيم المار من $$A$$ والعمودي على $$(AB)$$ والذي يقطع $$(BC)$$ في $$J$$ .
1. بيّن أن $CJ = \sqrt{3}$ .
2. استنتج أن $\frac{JC}{JO} = \frac{2}{3}$ .
1. بيّن أن $AJ = 2\sqrt{3}$ .
2. استنتج أن المثلث $$BIJ$$ قائم في $$J$$ .
لتكن $K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $O$، و $S$ نقطة تقاطع المستقيمين $(CK)$ و $(AJ)$.
1. بيّن أن $$C$$ مركز ثقل المثلث $$AJK$$ .
2. احسب البعد $$SK$$ .

📋 السؤال الأول: حساب BC

📐 السؤال الثالث أ: حساب CJ

نفترض أن المثلث $$ABJ$$ قائم في $$A$$ وأن $$(AC)$$ هو الارتفاع الصادر من $$A$$ .
باستخدام العلاقات المترية في المثلث القائم: $AC^2 = JC \times BC$
$3^2 = JC \times 3\sqrt{3} \implies 9 = JC \times 3\sqrt{3}$
$JC = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
إذن، $CJ = \sqrt{3}$.

📊 السؤال الثالث ب: حساب النسبة

لدينا $OC = \frac{1}{6}BC = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
النقط على استقامة واحدة بالترتيب $$J, C, O, B$$ . $JO = JC + CO = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
النسبة هي: $\frac{JC}{JO} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3}$

🔺 السؤال الرابع أ: حساب AJ

في المثلث $$ACJ$$ القائم في $$C$$ : $AJ^2 = AC^2 + CJ^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$
إذن، $AJ = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

✅ السؤال الرابع ب: إثبات أن المثلث BIJ قائم في J (مصحح)

تصحيح: $$I$$ تقع على امتداد $$[BA]$$ خارج المثلث، إذن: $$BI = BA + AI = 6 + 2 = 8$$
نحسب $$BJ$$ : $BJ = BC + CJ = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
نحسب $$IJ$$ في المثلث $$AIJ$$ القائم في $$A$$ : $IJ^2 = AI^2 + AJ^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$ إذن $$IJ = 4$$ .
نتحقق من المبرهنة العكسية لبيتาغور: $$BJ^2 + IJ^2 = 48 + 16 = 64 $$ $$BI^2 = 64$$

ملاحظة: بما أن $BJ^2 + IJ^2 = BI^2$، فإن المثلث $BIJ$ قائماً في $J$.

🎯 السؤال الخامس أ: إثبات أن C مركز ثقل المثلث AJK

لدينا $$K$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة إلى $$O$$ ، إذن $$O$$ منتصف $$[AK]$$ .
في المثلث $$AJK$$ ، المستقيم $$(JO)$$ يمر من الرأس $$J$$ ومنتصف الضلع المقابل $$[AK]$$ ، إذن $$(JO)$$ هو حامل الموسط الصادر من $$J$$ .
النقطة $$C$$ تنتمي إلى هذا الموسط $$(JO)$$ .
وجدنا في السؤال (3ب) أن $\frac{JC}{JO} = \frac{2}{3}$ .
النقطة التي تقع على الموسط وتبعد عن الرأس بثلثي طول الموسط هي مركز الثقل.
إذن، $C$ هي مركز ثقل المثلث $AJK$.

📏 السؤال الخامس ب: حساب البعد SK

بما أن $$C$$ هي مركز ثقل $\triangle AJK$ ، فإن المستقيم $$(CK)$$ هو حامل الموسط الصادر من $$K$$ .
وهو يقطع الضلع $$[AJ]$$ في منتصفه. لكن $$S$$ هي نقطة تقاطع $$(CK)$$ و $$(AJ)$$ .
إذن $$S$$ هي منتصف $$[AJ]$$ .
في المثلث $$ACJ$$ القائم في $$C$$ ، طول الموسط من $$C$$ إلى منتصف الوتر $$[AJ]$$ هو: $CS = \frac{1}{2}AJ = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
بخاصيات مركز الثقل: $CK = 3 \times CS$ (المسافة من مركز الثقل إلى رأس تساوي ثلاثة أضعاف المسافة إلى منتصف الضلع المقابل).
إذن: $CK = 3\sqrt{3}$
وبالتالي: $SK = CK - CS = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
إذن، $SK = 2\sqrt{3}$.

سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس