سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 8 (النسخة الكاملة)

1) حساب AC

• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\). بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
• \(6^2 = 2^2 + AC^2 \implies 36 = 4 + AC^2 \implies AC^2 = 32\).
• إذن، \(AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).

2) أ) تعيين E و D. ب) اثبات أن \(\triangle DEC\) قائم في C. ج) حساب EC و DC

• أ) تعيين النقاط:
  \(E \in [BA)\) و \(BE=6\). بما أن \(BA=2\)، فإن \(A\) تقع بين \(B\) و \(E\).
  \(D\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(B\)، إذن \(B\) هي منتصف القطعة \([ED]\).
• ب) إثبات أن المثلث قائم:
  في المثلث \(DEC\)، القطعة \([CB]\) تصل بين الرأس \(C\) ومنتصف الضلع المقابل \([ED]\). إذن \([CB]\) هو الموسط المتعلق بالضلع \([ED]\).
  طول الموسط \(CB = 6\).
  طول الضلع \(ED = 2 \times EB = 2 \times 6 = 12\).
  نلاحظ أن طول الموسط \([CB]\) يساوي نصف طول الضلع \([ED]\) (\(6 = \frac{12}{2}\)).
  حسب المبرهنة العكسية للموسط في المثلث القائم، فإن المثلث \(DEC\) قائم الزاوية في \(C\).
• ج) حساب EC ثم DC:
  نعتبر المثلث \(AEC\). بما أن \((AC) \perp (AB)\) و \(E \in (AB)\)، فإن المثلث \(AEC\) قائم في \(A\).
  طول \(AE = BE - BA = 6 - 2 = 4\).
  بتطبيق فيثاغورس في \(\triangle AEC\): \(EC^2 = AE^2 + AC^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2 = 16 + 32 = 48\).
  إذن، \(EC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\).
  في المثلث \(DEC\) القائم في \(C\)، نطبق فيثاغورس: \(ED^2 = EC^2 + DC^2\).
  \(12^2 = (4\sqrt{3})^2 + DC^2 \implies 144 = 48 + DC^2 \implies DC^2 = 96\).
  إذن، \(DC = \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}\).

3) (بافتراض أن I منتصف DC)

• أ) بيّن أن \((EC)\) و \((BI)\) متوازيان.
  سنعتبر أن \(I\) هي منتصف \([DC]\) كما يبدو من سياق الأسئلة.
  في المثلث \(DEC\)، لدينا \(I\) منتصف \([DC]\) و \(B\) منتصف \([DE]\).
  حسب مبرهنة المنتصفين، فإن المستقيم الذي يربط بين منتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث.
  إذن، \((BI) // (CE)\).
• ب) احسب \(BI\).
  حسب مبرهنة المنتصفين أيضاً، فإن طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعين يساوي نصف طول الضلع الثالث.
  \(BI = \frac{1}{2} CE = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

4) حسابات وإثباتات حول النقطة F

• أ) بيّن أن \(EC = 2BF\):
  لدينا \( (BI) // (EC) \). بما أن \(F \in (BI)\)، فإن \( (BF) // (EC) \).
  نطبق مبرهنة طاليس في المثلث \(AEC\) مع القاطعين \((AE)\) و \((AC)\) والمستقيمين المتوازيين \((BF)\) و \((EC)\): \(\frac{AB}{AE} = \frac{AF}{AC} = \frac{BF}{EC}\).
  نعلم أن \(AB=2\) و \(AE=4\)، إذن \(\frac{AB}{AE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
  من النسبة \(\frac{BF}{EC} = \frac{1}{2}\)، نستنتج مباشرة أن \(EC = 2BF\).
• ب) اثبت أن الرباعي \(EFDI\) متوازي أضلاع:
  نثبت أن قطري الرباعي \([ED]\) و \([FI]\) ينصف كل منهما الآخر.
  نعلم أن \(B\) هي منتصف \([ED]\).
  لنثبت أن \(B\) هي منتصف \([FI]\). من (أ)، \(BF = EC/2 = (4\sqrt{3})/2 = 2\sqrt{3}\).
  ومن (3ب)، حسبنا \(BI = 2\sqrt{3}\). إذن \(BF = BI\).
  بما أن النقاط \(F, B, I\) على استقامة واحدة و \(BF=BI\)، فإن \(B\) هي منتصف \([FI]\).
  بما أن قطري الرباعي \(EFDI\) يتقاطعان في منتصفهما \(B\)، فإن \(EFDI\) متوازي أضلاع.
• ج) اثبت أن الرباعي \(EFIC\) مستطيل:
  لنثبت أن \(EFIC\) متوازي أضلاع أولاً. لدينا \((BI) // (EC)\) إذن \((FI) // (EC)\).
  من متوازي الأضلاع \(EFDI\)، لدينا \((EF) // (ID)\). بما أن \(I,D,C\) على استقامة واحدة، فإن \((ID)\) هو نفسه \((IC)\). إذن \((EF) // (IC)\).
  بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فإن \(EFIC\) متوازي أضلاع.
  لإثبات أنه مستطيل، نثبت أن له زاوية قائمة، مثلاً \(\angle FIC = 90^\circ\).
  لدينا \(\triangle DEC\) قائم في \(C\)، إذن \((EC) \perp (DC)\).
  بما أن \((FI) // (EC)\) و \((DC)\) هو نفسه المستقيم \((IC)\)، فإن \((FI) \perp (IC)\).
  إذن الزاوية \(\angle FIC\) قائمة. متوازي الأضلاع \(EFIC\) له زاوية قائمة، فهو مستطيل.