🎯 التصحيح المفصل (بطريقة الهندسة المستوية)
1) أ) بيّن أن ADEI مستطيل
لكي نثبت أن الرباعي $$ADEI$$ مستطيل، يكفي أن نثبت أن له ثلاث زوايا قائمة.
1. الزاوية $$\angle DAI$$: الزاوية
$$\angle DAI$$ هي نفسها زاوية المربع
$$\angle DAB$$.
إذن، قياس الزاوية $$\angle DAI = 90°$$
2. الزاوية $$\angle ADE$$: المستقيم
$$(AD) \perp (DC)$$ لأن
$$ABCD$$ مربع. وبما أن النقطة
$$E \in (DC)$$، فإن المستقيم
$$(DE)$$ هو نفسه
$$(DC)$$.
إذن، $$(AD) \perp (DE)$$، مما يعني أن $$\angle ADE = 90°$$
3. الزاوية $$\angle EIA$$: من تعريف الموسط العمودي،
$$(IE) \perp (AM)$$. بما أن
$$I$$ و
$$A$$ تنتميان إلى
$$(AB)$$، فإن
$$(AI)$$ هو نفسه
$$(AB)$$.
إذن $$(IE) \perp (AI)$$، مما يعني أن $$\angle EIA = 90°$$
بما أن للرباعي $$ADEI$$ ثلاث زوايا قائمة، فهو إذن مستطيل.
1) ب) بيّن أن $$DN^2 = \frac{x^2}{2} - ax + a^2$$
لإيجاد الطول $$DN$$، سنستخدم مبرهنة فيثاغورس. للقيام بذلك، سنبني مثلثًا قائم الزاوية.
ليكن $$H$$ المسقط العمودي للنقطة $$N$$ على المستقيم $$(DC)$$. المثلث $$DNH$$ هو مثلث قائم الزاوية في $$H$$.
بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: $$DN^2 = DH^2 + NH^2$$
🔹 حساب $$NH$$: الزاوية
$$\angle IAN$$ هي نفسها الزاوية
$$\angle CAB$$ التي تساوي
$$45°$$ (لأن
$$[AC]$$ قطر المربع). المثلث
$$AIN$$ قائم الزاوية في
$$I$$. إذن هو مثلث قائم ومتساوي الساقين.
وبالتالي، $$IN = AI = \frac{x}{2}$$
المسافة
$$NH$$ تساوي المسافة العمودية بين
$$N$$ والمستقيم
$$(DC)$$.
$$NH = a - \frac{x}{2}$$
🔹 حساب $$DH$$: المسافة
$$DH$$ تساوي المسافة الأفقية بين
$$D$$ و
$$H$$. بما أن
$$H$$ هو المسقط العمودي لـ
$$N$$، فإن
$$DH$$ تساوي المسافة الأفقية من
$$D$$ إلى الخط العمودي المار بـ
$$N$$.
$$DH = AI = \frac{x}{2}$$
🔹 تطبيق فيثاغورس:
$$DN^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{x}{2}\right)^2$$
$$DN^2 = \frac{x^2}{4} + \left(a^2 - 2a \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4}\right)$$
$$DN^2 = \frac{x^2}{4} + a^2 - ax + \frac{x^2}{4}$$
$$DN^2 = \frac{x^2}{2} - ax + a^2$$
2) أسئلة جبرية
أ) بيّن أن $$x^2 + 2ax - 2a^2 = (x + a)^2 - 3a^2$$
:
بنشر الطرف الأيمن:
$$(x + a)^2 - 3a^2 = (x^2 + 2ax + a^2) - 3a^2 = x^2 + 2ax - 2a^2$$
وهو بالفعل الطرف الأيسر. ✅
ب) حل في $$\mathbb{R}$$ المعادلة $$x^2 + 2ax - 2a^2 = 0$$
:
$$x_1 = a(-1 - \sqrt{3})$$ و $$x_2 = a(\sqrt{3} - 1)$$
3) أ) أوجد x إذا علمت أن DN = AM
الشرط $$DN = AM$$ يكافئ $$DN^2 = AM^2$$.
نعلم أن $$AM = x$$ و $$DN^2 = \frac{x^2}{2} - ax + a^2$$. تصبح المعادلة:
$$\frac{x^2}{2} - ax + a^2 = x^2$$
بضرب الطرفين في 2:
$$x^2 - 2ax + 2a^2 = 2x^2$$
بإعادة ترتيب الحدود:
$$x^2 + 2ax - 2a^2 = 0$$
هذه هي نفس المعادلة التي تم حلها في السؤال 2.ب).
الحلان هما $$x = a(-1 - \sqrt{3})$$ و $$x = a(\sqrt{3} - 1)$$.
حسب نص التمرين،
$$x \in [0, a[$$. الحل
$$a(-1 - \sqrt{3})$$ سالب، إذن هو حل مرفوض.
بما أن
$$1 < \sqrt{3} < 2$$، فإن
$$0 < \sqrt{3} - 1 < 1$$، وهذا يقتضي أن
$$0 < a(\sqrt{3} - 1) < a$$. إذن هذا الحل مقبول.
إذن، الحل الوحيد هو $$x = a(\sqrt{3} - 1)$$
3) ب) بيّن أن (DN = AM يعني أن قياس الزاوية ∠EDN = 60°)
نفترض أن $$DN = AM$$. هذا يعني أن $$x = a(\sqrt{3} - 1)$$.
لنعتبر المثلث $$EDN$$.
تحليل المثلث $$EDN$$:
- المستقيم $$(DE)$$ جزء من المستقيم $$(DC)$$.
- المستقيم $$(EN)$$ جزء من الموسط العمودي $$(IE)$$.
- نعلم أن $$(DC) \parallel (AB)$$ وأن الموسط العمودي $$(IE) \perp (AB)$$.
- وبالتالي، فإن $$(IE) \perp (DC)$$.
هذا يعني أن الزاوية في $$E$$، أي $$\angle DEN = 90°$$
إذن المثلث $$EDN$$ هو مثلث قائم الزاوية في $$E$$.
حساب أطوال أضلاع المثلث القائم:
نحن الآن في المثلث $$EDN$$ القائم في $$E$$، ووجدنا أن الضلع $$DE$$ (أحد ضلعي الزاوية القائمة) يساوي نصف طول الوتر $$DN$$ (لأن $$DE = \frac{x}{2}$$ و $$DN = x$$).
الخاصية الهندسية المهمة:
في المثلث القائم، الخاصية التي تقول إن طول أحد ضلعي الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر لا تتحقق إلا إذا كانت الزاوية المقابلة لهذا الضلع تساوي $$30°$$.
الزاوية المقابلة للضلع $$[DE]$$ هي الزاوية $$\angle DNE$$. إذن، $$\angle DNE = 30°$$
مجموع زوايا المثلث $$EDN$$ هو $$180°$$. إذن:
$$\angle EDN = 180° - 90° - 30° = 60°$$
🎉 تم إنجاز التصحيح بنجاح! 🎉