\(ABD\) مثلث بحيث \(AB=6, AD=8, BD=4\). \(I\) منتصف \([BD]\). والمستقيم \((IE)\) يقطع \((AB)\).
- \(H\) هي المسقط العمودي لـ \(D\) على \((AB)\). بيّن أن \(H\) في مركز ثقل المثلث \(EBD\). (النص غير واضح هنا)
- المستقيم \((DH)\) يقطع \((EI)\) في \(J\). بيّن أن \(JE=JB\).
- ابن النقطة \(M\) بحيث يكون الرباعي \(AEIM\) متوازي أضلاع. بيّن أن \(AIMD\) متوازي أضلاع.
- المستقيم \((AM)\) يقطع \((BD)\) في \(K\).
- أحسب البعد \(KI\).
- بيّن أن \(I\) مركز ثقل المثلث \(ABM\).
- المستقيم \((IM)\) يقطع \((AB)\) في \(F\). بيّن أن \(I\) مركز ثقل المثلث \(IF\)... (النص مقطوع).
تحليل التمرين 11
ملاحظة هامة جداً: نص هذا التمرين يحتوي على أخطاء جسيمة في المعطيات والأسئلة تجعل حله مستحيلاً. سنوضح هذه الأخطاء.
تحليل السؤال 1 و 2:
- لحساب موقع النقطة \(H\)، نستخدم مبرهنة فيثاغورس الموسعة (مبرهنة الكاشي) أو طريقة الإحداثيات. ليكن \(BH = x\).
في \(\triangle BHD\): \(DH^2 = BD^2 - BH^2 = 4^2 - x^2\).
في \(\triangle AHD\): \(DH^2 = AD^2 - AH^2 = 8^2 - (6 \pm x)^2\).
بحسابات دقيقة (يمكن وضع B عند (0,0) و A عند (6,0)) نجد أن إحداثي H هو \(-1\). هذا يعني أن \(B\) تقع بين \(A\) و \(H\)، وأن \(BH = 1\).
- بالنص الأصلي، \(E\) هي مسقط \(I\) على \((AB)\). بما أن \(I\) منتصف \([BD]\)، فإن مسقطها \(E\) سيكون منتصف مسقطي \(B, D\). مسقط \(B\) هو \(B\) نفسها، ومسقط \(D\) هو \(H\). إذن \(E\) هي منتصف \([BH]\).
- المطلوب في السؤال 2 هو إيجاد تقاطع \(J\) بين \((DH)\) و \((EI)\).
المستقيم \((DH)\) عمودي على \((AB)\) (لأن \(H\) مسقط).
المستقيم \((EI)\) عمودي على \((AB)\) (لأن \(E\) مسقط).
بما أن المستقيمين \((DH)\) و \((EI)\) يعامدان نفس المستقيم \((AB)\)، فإنهما متوازيان تماماً (ما لم تكن النقاط D, I, H, E على استقامة واحدة وهو أمر غير صحيح هنا).
- الاستنتاج: المستقيمان لا يتقاطعان أبداً (إلا في اللانهاية). إذن، النقطة \(J\) غير موجودة. وبالتالي لا يمكن حل السؤال 2 وبقية الأسئلة التي تعتمد عليه.
بسبب خطأ أساسي في صياغة السؤال الثاني (تقاطع مستقيمين متوازيين)، فإن التمرين بأكمله غير قابل للحل كما هو مكتوب.