سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 10

1) بيّن أن الرباعي OEAF معين

• لدينا \(A, E, F\) نقاط من الدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(O\) وشعاعها 4. إذن، الأطوال \(OA, OE, OF\) كلها تساوي الشعاع.
  \(OA = OE = OF = 4\).
• لدينا \(\Delta\) هو الموسط العمودي (المحور) للقطعة \([OA]\). والنقطتان \(E\) و \(F\) تنتميان إلى \(\Delta\).
• أي نقطة تنتمي إلى محور قطعة مستقيمة تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
  بما أن \(E \in \Delta\)، فإن \(EA = EO\).
  بما أن \(F \in \Delta\)، فإن \(FA = FO\).
• نجمع كل المساواة التي حصلنا عليها:
  \(OE = 4\) و \(EA = EO\)، إذن \(EA=4\).
  \(OF = 4\) و \(FA = FO\)، إذن \(FA=4\).
• إذن، جميع أضلاع الرباعي \(OEAF\) لها نفس الطول 4: \(OE = EA = AF = FO = 4\).
• الرباعي الذي جميع أضلاعه متقايسة هو معين.

2) أ) حساب مساحة المعين OEAF

• مساحة المعين تساوي نصف جداء طولي قطريه. قطرا المعين \(OEAF\) هما \([OA]\) و \([EF]\).
• لدينا طول القطر \(OA = 4\).
• لحساب طول القطر \([EF]\):
  قطرا المعين متعامدان وينصف كل منهما الآخر. ليكن \(H\) نقطة تقاطعهما.
  \(H\) هي منتصف \([OA]\) (لأن \(\Delta\) هو محور \([OA]\)). إذن \(OH = \frac{OA}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
  المثلث \(OHE\) قائم في \(H\) (لأن القطرين متعامدان).
  بتطبيق فيثاغورس في \(\triangle OHE\): \(OE^2 = OH^2 + HE^2\).
  \(4^2 = 2^2 + HE^2 \implies 16 = 4 + HE^2 \implies HE^2 = 12 \implies HE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
• \(H\) هي أيضا منتصف القطر \([EF]\). إذن \(EF = 2 \times HE = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
• مساحة المعين \(OEAF = \frac{1}{2} \times OA \times EF = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\).
• إذن، المساحة تساوي \(8\sqrt{3}\) cm\(^2\).

2) ب) حساب ME

• \(M\) هي المسقط العمودي لـ \(E\) على \((OF)\)، إذن \([EM]\) هو الارتفاع الصادر من \(E\) في المثلث \(OEF\).
• يمكن حساب مساحة المثلث \(OEF\) بطريقتين:
  الطريقة 1: المساحة = \(\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} = \frac{1}{2} \times OF \times ME\).
  الطريقة 2: مساحة \(\triangle OEF\) هي نصف مساحة المعين \(OEAF\).
  مساحة \(\triangle OEF = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
• بمساواة الطريقتين: \(4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times OF \times ME\).
  نعلم أن \(OF=4\) (شعاع الدائرة).
  \(4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 4 \times ME \implies 4\sqrt{3} = 2 \times ME\).
• إذن، \(ME = 2\sqrt{3}\).

3) حساب AE'

• \(\Delta'\) هو المماس للدائرة في \(E\)، إذن \((OE) \perp \Delta'\).
• \(E'\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \(\Delta'\). إذن \((AE') \perp \Delta'\).
• بما أن \((OE)\) و \((AE')\) يعامدان نفس المستقيم \(\Delta'\)، فإنهما متوازيان: \((OE) // (AE')\).
• لتكن \(A''\) المسقط العمودي لـ \(A\) على المستقيم \((OE)\).
  بما أن \((OE) // (AE')\) و \((OA'') // (E'E)\) (كلاهما عمودي على \(OE\))، فإن الرباعي \(A''E'EA\) مستطيل.
  إذن، طول \(AE'\) يساوي طول \(A''E\). هذا خاطئ. طول \(AE'\) يساوي طول \(A A''\).
• \(AA''\) هو طول الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلث \(OAE\).
• مساحة المثلث \(OAE\) هي نصف مساحة المعين، أي \(4\sqrt{3}\).
• مساحة \(\triangle OAE = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} = \frac{1}{2} \times OE \times AA''\).
• \(4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 4 \times AA'' \implies 4\sqrt{3} = 2 \times AA''\).
• إذن \(AA'' = 2\sqrt{3}\). وعليه، \(AE' = 2\sqrt{3}\).