سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

تحليل التمرين 9

تحليل السؤال 1:

• يطلب تعيين \(A(0,3)\) و \(B(3,0)\) ثم في الجزء (ب) يطلب بناء \(A\) مرة أخرى! هذا تناقض.
• في الجزء (ج) يطلب حساب إحداثيات \(A\) وهي معطاة.
• الافتراض الأكثر منطقية: كان يجب أن يكون السؤال: "لتكن \(O(0,0), A(0,3), B(3,0)\). بيّن أن المثلث AOB قائم ومتقايس الساقين في O. ثم عين K منتصف [OB] واحسب إحداثياتها".
  على هذا دليل القوة: \(OA = \sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2}=3\). \(OB = \sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2}=3\). إذن \(OA=OB\).
  \(AB^2 = (3-0)^2+(0-3)^2 = 9+9=18\). \(OA^2+OB^2=3^2+3^2=18\). بما أن \(OA^2+OB^2=AB^2\)، فالمثلث قائم في \(O\).
  إحداثيات K منتصف \([OB]\) هي \(K(\frac{3+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = K(1.5, 0)\).

تحليل السؤال 2:

• \(C\) مناظرة \(A(0,3)\) بالنسبة للمستقيم \((OI)\) (محور السينات). إذن إحداثيات \(C\) هي \((0, -3)\).
• المطلوب: "بيّن أن الرباعي ABCO معين". المعين هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متقايسة.
  لنحسب أطوال أضلاع الرباعي \(ABCO\): \(A(0,3), B(3,0), C(0,-3), O(0,0)\).
  • \(OA = 3\).
  • \(OC = 3\).
  • \(AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
  • \(BC = \sqrt{(3-0)^2+(0-(-3))^2} = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
  الأضلاع هي (3, \(3\sqrt{2}\), 3, \(3\sqrt{2}\)). بما أن \(3 \neq 3\sqrt{2}\)، فإن الأضلاع ليست كلها متقايسة.
  الاستنتاج: الرباعي ABCO ليس معيناً. إنه شكل "طائرة ورقية" (Kite) لأن له قطران متعامدان \([AC]\) و \([OB]\) وأحد القطرين \([AC]\) هو محور تناظر للآخر. الادعاء في السؤال خاطئ.

تحليل السؤال 3:

• \(D\) مناظرة \(C(0, -3)\) بالنسبة إلى \(O(0,0)\). إذن \(O\) هي منتصف \([CD]\). \((\frac{0+x_D}{2}, \frac{-3+y_D}{2}) = (0,0)\). هذا يعطي \(x_D=0\) و \(y_D=3\).
  إذن، إحداثيات \(D\) هي \((0,3)\)، مما يعني أن النقطة \(D\) هي نفسها النقطة \(A\).
• المطلوب: "بيّن أن الرباعي ABCD شبه منحرف". الرباعي هو \(ABCA\). هذا ليس رباعياً، بل هو مثلث \(ABC\). إنه شكل منبسط (degenerate).
• الاستنتاج: بناءً على المعطيات السابقة، هذا السؤال لا معنى له.