سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 8

أ) إنجاز الرسم

• لإنجاز الرسم بدقة، نبدأ برسم أطول قطعة مستقيمة وهي \([BC]\) بطول 6 وحدات (مثلاً 6 سم).
• باستخدام الفرجار، نفتح الفرجار بفتحة طولها 2 وحدة (\(AB=2\)) ونرسم قوس دائرة انطلاقاً من النقطة \(B\).
• نحسب القيمة التقريبية لـ \(AC = 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.66\).
• نفتح الفرجار بفتحة طولها 5.66 وحدة، ونرسم قوس دائرة انطلاقاً من النقطة \(C\).
• نقطة تقاطع القوسين هي النقطة \(A\). نصل بين النقاط \(A\), \(B\), و \(C\) لنحصل على المثلث.

ب) بيّن أن المثلث ABC قائم الزاوية

• للتحقق مما إذا كان المثلث قائماً، نستخدم المبرهنة العكسية لفيثاغورس. تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كان مربع طول أطول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن المثلث قائم الزاوية.
• الخطوة 1: نحسب مربع طول كل ضلع.
  • \(AB^2 = 2^2 = 4\)
  • \(AC^2 = (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \times (\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\)
  • \(BC^2 = 6^2 = 36\)
• الخطوة 2: نحدد أطول ضلع. بمقارنة المربعات (4, 32, 36)، نجد أن 36 هي القيمة الأكبر، إذن \([BC]\) هو أطول ضلع.
• الخطوة 3: نتحقق من صحة العلاقة. نقارن مربع أطول ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.
  مجموع مربعي الضلعين الآخرين: \(AB^2 + AC^2 = 4 + 32 = 36\).
  مربع أطول ضلع: \(BC^2 = 36\).
• الخطوة 4: الاستنتاج.
  بما أن \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)، فإن علاقة فيثاغورس العكسية محققة.