ليكن مثلثا \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(B\) بحيث \(AB=BC=5\) و \(AC=6\). ليكن \([BD]\) الإرتفاع الصادر من \(B\) و \([AE]\) الإرتفاع الصادر من \(A\).
- بيّن أن \(CD=3\) و \(BD=4\).
- لتكن \(F\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(B\).
- بيّن أن المثلث \(ACF\) قائم الزاوية في \(A\).
- أحسب \(AE\) و \(AF\).
- لتكن \((\mathcal{C})\) الدائرة المحيطة بالمثلث \(AFC\).
- حدد مركز الدائرة \((\mathcal{C})\).
- المستقيم المار من \(B\) والعمودي على \((CF)\) يقطع \((AF)\) في نقطة \(B'\). ونصف المستقيم \([BB']\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في \(K\). بيّن أن المثلث \(CFK\) قائم و متقايس الضلعين.
- المستقيم \((AB)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطة ثانية \(I\). بيّن أن الرباعي \(ACIF\) شبه منحرف متساوي الساقين.
- المستقيم \((BK)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطة ثانية \(J\). بيّن أن الرباعي \(FKCJ\) مربع.
الحل المفصل للتمرين 7
1) بيّن أن CD=3 و BD=4
- في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين في \(B\)، الارتفاع \([BD]\) الصادر من القمة الرئيسية \(B\) هو أيضا موسط ومحور للقطعة \([AC]\).
- كموسط، فإنه يقطع \([AC]\) في منتصفها \(D\). إذن \(CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 6 = 3\).
- كمحور، فإنه عمودي على \([AC]\). إذن المثلث \(BDC\) قائم في \(D\).
- بتطبيق مبرهنة فيثاغورس في المثلث \(BDC\): \(BC^2 = BD^2 + CD^2\).
- \(5^2 = BD^2 + 3^2 \implies 25 = BD^2 + 9 \implies BD^2 = 16\). إذن \(BD = 4\).
2) أ) بيّن أن المثلث ACF قائم الزاوية في A
- \(F\) هي مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(B\)، إذن \(B\) هي منتصف القطعة \([FC]\).
- في المثلث \(ACF\)، القطعة \([AB]\) تصل بين الرأس \(A\) ومنتصف الضلع المقابل \([FC]\). إذن \([AB]\) هو الموسط المتعلق بالضلع \([FC]\).
- طول هذا الموسط هو \(AB = 5\).
- طول الضلع \([FC]\) هو \(FC = 2 \times BC = 2 \times 5 = 10\).
- نلاحظ أن طول الموسط \([AB]\) يساوي نصف طول الضلع \([FC]\) (\(5 = \frac{10}{2}\)).
- حسب المبرهنة العكسية للموسط في المثلث القائم، فإن المثلث \(ACF\) قائم الزاوية في \(A\).
2) ب) أحسب AE و AF
- حساب AE: \([AE]\) هو الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلث \(ABC\). يمكن حساب مساحة المثلث \(ABC\) بطريقتين:
المساحة = \(\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}\).
الطريقة 1: القاعدة \([AC]\) والارتفاع \([BD]\). المساحة = \(\frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\).
الطريقة 2: القاعدة \([BC]\) والارتفاع \([AE]\). المساحة = \(\frac{1}{2} \times BC \times AE = \frac{1}{2} \times 5 \times AE\).
بمساواة الطريقتين: \(12 = \frac{5}{2}AE \implies AE = \frac{24}{5} = 4.8\). إذن \(AE = 4.8\).
- حساب AF: في المثلث \(ACF\) القائم في \(A\)، نطبق فيثاغورس: \(FC^2 = AC^2 + AF^2\).
إذن، المثلث \(ABC\) قائم الزاوية، والزاوية القائمة تكون مقابلة لأطول ضلع \([BC]\)، أي أن المثلث قائم في \(A\).