سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 4

1) تحديد مركز ثقل المثلث ABC

• بما أن \(C\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(I\)، فإن \(I\) هي منتصف القطعة \([BC]\). إذن، المستقيم \((AI)\) هو حامل الموسط الصادر من الرأس \(A\) في المثلث \(ABC\).
• بما أن \(O\) هو مركز الدائرة التي قطرها \([AB]\)، فإن \(O\) هو منتصف القطعة \([AB]\). إذن، المستقيم \((OC)\) هو حامل الموسط الصادر من الرأس \(C\) في المثلث \(ABC\).
• النقطة \(G\) هي نقطة تقاطع \((AI)\) و \((OC)\)، وهما حاملا موسطين في المثلث \(ABC\).
• إذن، \(G\) هي مركز ثقل المثلث \(ABC\).

2) أ) بيّن أن AOJI متوازي أضلاع

• بما أن \(G\) هي مركز ثقل المثلث، فإن المستقيم \((BG)\) هو حامل الموسط الثالث، وهو يمر من الرأس \(B\) ويقطع الضلع المقابل \([AC]\) في منتصفه.
• \(J\) هي نقطة تقاطع \((BG)\) و \((AC)\)، إذن \(J\) هي منتصف القطعة \([AC]\).
• في المثلث \(ABC\)، لدينا \(I\) منتصف \([BC]\) و \(J\) منتصف \([AC]\). حسب مبرهنة المنتصفين، فإن المستقيم \((IJ)\) يوازي المستقيم \((AB)\) وطول القطعة \([IJ]\) يساوي نصف طول \([AB]\).
• لدينا \(O\) منتصف \([AB]\)، إذن \((AO)\) هو نفسه المستقيم \((AB)\) و \(AO = \frac{1}{2}AB\).
• نستنتج أن \((IJ) // (AO)\) و \(IJ = AO\).
• الرباعي \(AOJI\) له ضلعان متقابلان \([AO]\) و \([JI]\) متوازيان ومتقايسان.
• إذن، الرباعي \(AOJI\) هو متوازي أضلاع.

2) ب) بيّن أن (CH) ⊥ (IJ)

• \(H\) هي نقطة تقاطع \((BG)\) و \((AI)\). بما أن \(G\) هي أيضًا نقطة تقاطع \((BG)\) و \((AI)\)، فإن النقطتين \(H\) و \(G\) متطابقتان. إذن \(H=G\).
• المطلوب هو إثبات أن \((CG) \perp (IJ)\).
• أثبتنا أن \((IJ) // (AB)\). لإثبات أن \((CG) \perp (IJ)\)، يكفي أن نثبت أن \((CG) \perp (AB)\).
• المستقيم \((CG)\) هو نفسه المستقيم \((CO)\) لأن \(C, G, O\) على استقامة واحدة (لأن \((CO)\) موسط و \(G\) مركز ثقل). إذن المطلوب هو إثبات أن \((CO) \perp (AB)\).
• المستقيم \((CO)\) هو حامل الموسط المتعلق بالضلع \([AB]\). لكي يكون الموسط عموديا على الضلع، يجب أن يكون المثلث \(ABC\) متساوي الساقين في \(C\)، أي \(AC=BC\).
• لنتحقق من هذا الشرط:
  • \(I\) نقطة من الدائرة التي قطرها \([AB]\)، إذن المثلث \(AIB\) قائم في \(I\).
  • بتطبيق فيثاغورس في المثلث \(AIB\): \(AI^2 + BI^2 = AB^2 \implies AI^2 + 6^2 = 10^2 \implies AI^2 = 64 \implies AI = 8\).
  • بما أن المثلث \(AIB\) قائم في \(I\)، فإن \((AI) \perp (BI)\)، أي \((AI) \perp (BC)\).
  • في المثلث \(ABC\)، المستقيم \((AI)\) هو حامل الارتفاع الصادر من \(A\). وبما أن \(I\) هي منتصف \([BC]\)، فإن \((AI)\) هو أيضًا حامل الموسط.
  • إذا كان حامل الارتفاع هو نفسه حامل الموسط في مثلث، فإن المثلث متساوي الساقين. إذن المثلث \(ABC\) متساوي الساقين في \(A\)، أي \(AC = AB = 10\).
  • طول الضلع \([BC]\) هو \(BC = 2 \times BI = 2 \times 6 = 12\).
  • وجدنا أن \(AC=10\) و \(BC=12\). إذن \(AC \neq BC\).
• الاستنتاج: المثلث \(ABC\) ليس متساوي الساقين في \(C\). وبالتالي، الموسط \((CO)\) ليس عموديا على \((AB)\). إذن الادعاء في السؤال خاطئ.

3) حساب CQ

• بناء على التحليل السابق، \(H=G\)، إذن \((CH)\) هي \((CG)\) وهي \((CO)\).
• \(Q\) هي نقطة تقاطع \((CH)\) و \((AB)\)، أي نقطة تقاطع \((CO)\) و \((AB)\). بما أن \(O\) تنتمي لـ\((AB)\)، فإن نقطة التقاطع هي \(O\) نفسها. إذن \(Q=O\).
• المطلوب هو حساب طول \(CQ\)، أي طول \(CO\).
• نطبق مبرهنة الموسط في المثلث \(ABC\) على الموسط \([CO]\):
• \(CA^2 + CB^2 = 2(CO^2 + AO^2)\)
• من الخطوات السابقة، لدينا \(AC=10\)، \(BC=12\)، و \(AO = AB/2 = 5\).
• \(10^2 + 12^2 = 2(CO^2 + 5^2) \implies 100 + 144 = 2(CO^2 + 25)\)
• \(244 = 2CO^2 + 50 \implies 2CO^2 = 194 \implies CO^2 = 97\).
• إذن، \(CQ = CO = \sqrt{97}\).