سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 3

1) حساب AC

• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\). بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
• \(6^2 = 2^2 + AC^2 \implies 36 = 4 + AC^2 \implies AC^2 = 32\).
• إذن، \(AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\).

2) تعيين E وحساب EC

• أ) \(E\) تنتمي إلى نصف المستقيم \([BA)\) و \(BE=6\). بما أن \(BE=6 > BA=2\)، فإن \(A\) تقع بين \(B\) و \(E\).
• ب) لحساب \(EC\)، نعتبر المثلث \(AEC\). بما أن \((AC) \perp (AB)\)، و \(E \in (AB)\)، فإن المثلث \(AEC\) قائم في \(A\).
• طول الضلع \(AE = BE - BA = 6 - 2 = 4\).
• بتطبيق فيثاغورس في المثلث \(AEC\): \(EC^2 = AE^2 + AC^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2 = 16 + 32 = 48\).
• إذن، \(EC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\).

3) بيّن أن المثلث ECD قائم في C

• \(D\) هي صورة \(E\) بالتناظر المركزي بالنسبة لـ \(B\)، إذن \(B\) هي منتصف القطعة \([ED]\).
• في المثلث \(ECD\)، القطعة \([CB]\) تصل بين الرأس \(C\) ومنتصف الضلع المقابل \([ED]\). إذن \([CB]\) هو الموسط المتعلق بالضلع \([ED]\).
• طول هذا الموسط هو \(CB = 6\).
• طول الضلع \([ED]\) هو \(ED = 2 \times EB = 2 \times 6 = 12\).
• نلاحظ أن طول الموسط \([CB]\) يساوي نصف طول الضلع \([ED]\) (\(6 = \frac{12}{2}\)).
• حسب المبرهنة العكسية للموسط في المثلث القائم: "إذا كان طول الموسط المتعلق بضلع في مثلث يساوي نصف طول ذلك الضلع، فإن المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لذلك الضلع".
• إذن، المثلث \(ECD\) قائم الزاوية في \(C\).

4) حسابات وإثباتات حول النقطة I

• أ) حساب IB: في المثلث \(ECD\)، \(I\) هي منتصف \([CD]\) و \(B\) هي منتصف \([ED]\). حسب مبرهنة المنتصفين (أو مبرهنة طاليس في المثلث)، فإن المستقيم \((IB)\) يوازي المستقيم \((EC)\) وطول القطعة \(IB\) يساوي نصف طول \(EC\). \(IB = \frac{1}{2} EC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). إذن \(IB = 2\sqrt{3}\).
• ت) بيّن أن B منتصف [IF]: (نحل هذا الجزء أولا لأنه يسهل الجزء ب). لدينا \( (IB) // (EC) \). بما أن \(F \in (IB)\)، فإن \( (FB) // (EC) \). نطبق مبرهنة طاليس في المثلث \(AEC\) مع القاطعين \((AE)\) و \((AC)\) والمستقيمين المتوازيين \((FB)\) و \((EC)\): \(\frac{AB}{AE} = \frac{AF}{AC} = \frac{FB}{EC}\). نعلم أن \(AB=2\) و \(AE=4\)، إذن \(\frac{AB}{AE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). من النسبة \(\frac{FB}{EC} = \frac{1}{2}\)، نستنتج أن \(FB = \frac{1}{2} EC = 2\sqrt{3}\). وجدنا أن \(IB = 2\sqrt{3}\) و \(FB = 2\sqrt{3}\). إذن \(IB = FB\). بما أن \(F\) نقطة تقاطع \((IB)\) و \((AC)\)، فإن النقاط \(I, B, F\) على استقامة واحدة. بما أن \(IB = FB\) والنقاط على استقامة واحدة، فإن \(B\) هي منتصف القطعة \([IF]\).
• ب) بيّن أن (BC) ⊥ (FD): في المثلث \(ECD\)، لدينا \( (EC) \perp (CD) \) لأنه قائم في \(C\). أثبتنا أن \( (IB) // (EC) \). وبما أن \(F \in (IB)\)، فإن \( (IF) // (EC) \). إذن، \( (IF) \perp (CD) \). في المثلث \(IFD\)، المستقيم \((DC)\) يمر من الرأس \(D\) وهو عمودي على الضلع المقابل \((IF)\). إذن، \((DC)\) هو حامل الارتفاع الصادر من \(D\). أيضًا في المثلث \(IFD\)، \(B\) هي منتصف \([IF]\)، إذن المستقيم \((DB)\) هو حامل الموسط الصادر من \(D\). المستقيمان \((DC)\) و \((DB)\) ليسا منطبقين (لأن \(B \notin (DC)\)). إذن لا يمكن الاستنتاج مباشرة. لننظر إلى المثلث \(FCD\). لدينا \(I\) منتصف \([CD]\). إذن \((FI)\) هو موسط. هذا لا يساعد. طريقة أخرى: لنثبت أن \(C\) هي المركز القائم للمثلث \(FBD\). \((BC) \perp (AB)\) أي \((BC) \perp (FB)\). إذن \((BC)\) هو ارتفاع في \(\triangle FBD\). \((CD) \perp (IF)\) أي \((CD) \perp (BF)\). لا، \((CD) \perp (IF)\). في المثلث \(FCD\)، لنحسب الأطوال. \(CD^2 = ED^2 - EC^2 = 12^2 - (4\sqrt{3})^2 = 144 - 48 = 96\). هذا المسار معقد. لنعد إلى أن \((IF) \perp (CD)\). نحن نريد إثبات \((BC) \perp (FD)\). هذا السؤال صعب جدًا بالهندسة الكلاسيكية ويبدو أن هناك خطأ في نصه أو يتطلب نظرية غير مبرمجة.

6) بيّن أن ECDG مستطيل

• لدينا \(D\) صورة \(E\) بالتناظر المركزي حول \(B\)، إذن \(B\) منتصف \([ED]\).
• لدينا \(G\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(B\)، إذن \(B\) منتصف \([CG]\).
• الرباعي \(ECDG\) له قطران \([ED]\) و \([CG]\) يتقاطعان في منتصفهما \(B\). إذن \(ECDG\) متوازي أضلاع.
• أثبتنا في السؤال (3) أن المثلث \(ECD\) قائم في \(C\)، أي \(\angle ECD = 90^\circ\).
• متوازي الأضلاع الذي له زاوية قائمة هو مستطيل.

7) بيّن أن K نقطة من [BD]

• نعتبر المثلث \(GCD\).
• \(J\) هي منتصف \([GD]\)، إذن المستقيم \((CJ)\) هو حامل الموسط الصادر من \(C\).
• \(I\) هي منتصف \([CD]\)، إذن المستقيم \((GI)\) هو حامل الموسط الصادر من \(G\).
• \(K\) هي نقطة تقاطع \((CJ)\) و \((IG)\)، وهما حاملا موسطين في المثلث \(GCD\). إذن \(K\) هي مركز ثقل المثلث \(GCD\).
• مركز الثقل هو نقطة تلاقي الموسطات الثلاثة. الموسط الثالث هو المستقيم الصادر من الرأس \(D\) ويمر من منتصف الضلع المقابل \([CG]\).
• منتصف \([CG]\) هو النقطة \(B\). إذن الموسط الثالث هو المستقيم \((DB)\).
• بما أن \(K\) هي مركز الثقل، فإنها تنتمي إلى الموسطات الثلاثة، وبالأخص تنتمي إلى المستقيم \((DB)\).
• بما أن \(K\) (مركز ثقل) هي نقطة داخل المثلث، فإنها تقع على قطعة الموسط، إذن \(K\) نقطة من \([BD]\).