سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 5

1) بناء المثلث وبيان أن OAB متساوي الساقين

• نلاحظ أن \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)، و \(5^2 = 25\). إذن \(AC^2 + AB^2 = BC^2\).
• حسب المبرهنة العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\).
• \(O\) هي منتصف الوتر \([BC]\). في المثلث القائم، الموسط الصادر من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر.
• إذن، \(OA = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2} = 2.5\).
• كذلك، \(OB = \frac{1}{2}BC = 2.5\).
• بما أن \(OA = OB\)، فإن المثلث \(OAB\) متساوي الساقين في \(O\).

2) بيان أن الرباعي MIAJ مستطيل

• \(I\) هو المسقط العمودي لـ \(M\) على \((AB)\)، إذن \((MI) \perp (AB)\)، وبالتالي الزاوية \(M\hat{I}A\) قائمة.
• \(J\) هو المسقط العمودي لـ \(M\) على \((AC)\)، إذن \((MJ) \perp (AC)\)، وبالتالي الزاوية \(M\hat{J}A\) قائمة.
• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن الزاوية \(I\hat{A}J\) (وهي نفسها \(\hat{A}\)) قائمة.
• الرباعي \(MIAJ\) له ثلاث زوايا قائمة، إذن هو مستطيل.

3) أ) حصر لـ x

• النقطة \(M\) تنتمي للقطعة \([BC]\)، إذن المسافة \(BM\) تكون بين 0 و طول القطعة \(BC\).
• إذن، \(0 \le x \le 5\).

3) ب) إثبات أن \(IM = \frac{3x}{5}\)

• في المثلث \(ABC\)، لدينا \(M \in (BC)\) و \(I \in (AB)\).
• لدينا \((MI) \perp (AB)\) و \((AC) \perp (AB)\)، إذن \((MI) // (AC)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث \(BAC\) مع المستقيمين المتوازيين \((MI)\) و \((AC)\): \(\frac{BM}{BC} = \frac{BI}{BA} = \frac{IM}{AC}\).
• باستخدام العلاقة الأولى والثالثة: \(\frac{x}{5} = \frac{IM}{3}\).
• إذن، \(IM = \frac{3x}{5}\).

3) ت) حساب CM و JM

• \(CM = BC - BM = 5 - x\).
• في المثلث \(ABC\)، لدينا \(M \in (BC)\) و \(J \in (AC)\).
• لدينا \((MJ) \perp (AC)\) و \((AB) \perp (AC)\)، إذن \((MJ) // (AB)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث \(CAB\) مع المستقيمين المتوازيين \((MJ)\) و \((AB)\): \(\frac{CM}{CB} = \frac{CJ}{CA} = \frac{JM}{AB}\).
• باستخدام العلاقة الأولى والثالثة: \(\frac{5-x}{5} = \frac{JM}{4}\).
• إذن، \(JM = \frac{4(5-x)}{5} = \frac{20-4x}{5}\).

3) ث) إيجاد x ليكون IMJ متقايس الضلعين في M

• المثلث \(IMJ\) متقايس الضلعين قمته \(M\) يعني أن \(IM = JM\).
• \(\frac{3x}{5} = \frac{4(5-x)}{5} \implies 3x = 4(5-x)\).
• \(3x = 20 - 4x \implies 7x = 20 \implies\) \(x = \frac{20}{7}\).
• (نلاحظ أن \(0 \le \frac{20}{7} \approx 2.86 \le 5\)، إذن القيمة مقبولة).

3) ج) إيجاد AM ليكون MIAJ مربعًا

• الرباعي \(MIAJ\) هو مستطيل. ليكون مربعًا، يجب أن يكون له ضلعان متجاوران متقايسان، مثلا \(IM = IA\).
• من مبرهنة طاليس في خطوة ب): \(\frac{BM}{BC} = \frac{BI}{BA} \implies \frac{x}{5} = \frac{BI}{4} \implies BI = \frac{4x}{5}\).
• \(IA = AB - BI = 4 - \frac{4x}{5} = \frac{20-4x}{5}\).
• شرط المربع هو \(IM=IA\): \(\frac{3x}{5} = \frac{20-4x}{5}\).
• هذه نفس معادلة السؤال السابق، وحلها هو \(x = \frac{20}{7}\).
• عندما يكون \(x = \frac{20}{7}\)، يصبح الرباعي مربعًا. المطلوب هو حساب البعد \(AM\).
• \(AM\) هو قطر المربع \(MIAJ\). المثلث \(AIM\) قائم في \(I\).
• عندما \(x = \frac{20}{7}\)، فإن \(IM = \frac{3}{5} \times \frac{20}{7} = \frac{12}{7}\). وبما أنه مربع، فإن \(IA = \frac{12}{7}\) أيضاً.
• بتطبيق فيثاغورس في المثلث \(AIM\): \(AM^2 = IA^2 + IM^2 = (\frac{12}{7})^2 + (\frac{12}{7})^2 = 2 \times (\frac{12}{7})^2\).
• إذن، \(AM = \sqrt{2 \times (\frac{12}{7})^2} = \frac{12\sqrt{2}}{7}\).