سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 3

1) حساب AC

المثلث ABC قائم في A. بتطبيق مبرهنة فيثاغورس:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies 6^2 = 2^2 + AC^2 \implies 36 = 4 + AC^2 \]

\[ AC^2 = 32 \implies AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \]

2) أ) تعيين E و ب) حساب EC

أ) E تنتمي إلى نصف المستقيم \([BA)\) و \(BE=6\). لدينا \(BA=2\)، بما أن \(BE > BA\)، فإن A تقع بين B و E.

ب) لحساب EC، نعتبر المثلث AEC. بما أن (AC) يعامد (AB)، و E تنتمي إلى المستقيم (AB)، فإن المثلث AEC قائم في A.

لدينا \(AE = BE - BA = 6 - 2 = 4\).

بتطبيق فيثاغورس في المثلث AEC:

\[ EC^2 = AE^2 + AC^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2 = 16 + 32 = 48 \]

\[ EC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \]

3) بيّن أن المثلث ECD قائم في C

D هي صورة E بالتناظر المركزي بالنسبة لـ B، إذن B هي منتصف القطعة [ED].

في المثلث ECD، القطعة [CB] تصل بين الرأس C ومنتصف الضلع المقابل [ED]. إذن [CB] هو الموسط المتعلق بالضلع [ED].

طول الموسط هو \(CB = 6\).

طول الضلع [ED] هو \(ED = EB + BD\). وبما أن B منتصف [ED]، فإن \(BD = EB = 6\). إذن \(ED = 6 + 6 = 12\).

نلاحظ أن طول الموسط [CB] يساوي نصف طول الضلع [ED] (\(6 = \frac{12}{2}\)).

حسب المبرهنة العكسية للموسط في المثلث القائم: "إذا كان طول الموسط المتعلق بضلع في مثلث يساوي نصف طول ذلك الضلع، فإن المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لذلك الضلع".

إذن، المثلث ECD قائم الزاوية في C.