سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 1

1) حساب OB واستنتاج أن I هي منتصف [BC]

• بما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن حامل الضلع \((AD)\) يوازي حامل الضلع \((BC)\). وبما أن O تنتمي إلى \((BC)\)، فإن \((AD) // (BO)\).
• نعتبر المثلثين \(DAM\) و \(OBM\). لدينا \((AD) // (BO)\) والمستقيمان القاطعان \((DO)\) و \((AB)\) يتقاطعان في \(M\). هذه وضعية طاليس (شكل الفراشة).
• بتطبيق مبرهنة طاليس، نحصل على: \(\frac{BO}{AD} = \frac{BM}{AM} = \frac{MO}{MD}\)
• لدينا \(AM = 6\) و \(AB = 9\). بما أن \(M \in [AB]\)، فإن \(BM = AB - AM = 9 - 6 = 3\). ولدينا \(AD=4\).
• بالتعويض في النسبة: \(\frac{BO}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
• إذن، \(BO = 4 \times \frac{1}{2} = 2\).
• الاستنتاج: \(I\) هي صورة \(O\) بالتناظر المركزي بالنسبة إلى \(B\)، وهذا يعني أن \(B\) هي منتصف القطعة \([OI]\). إذن \(BI = BO = 2\).
• في المستطيل، \(BC = AD = 4\).
• من خلال الرسم، نجد أن الترتيب على المستقيم هو \(C\), \(B\), \(O\). إذن \(I\) التي هي نظيرة \(O\) بالنسبة لـ \(B\) ستكون في الجهة الأخرى، والترتيب هو \(I, B, C\).
• بما أن \(I\) تنتمي إلى المستقيم \((BC)\) و \(BI = 2\)، و \(BC = 4\)، فإن \(I\) هي النقطة التي تبعد عن \(B\) مسافة 2 في اتجاه \(C\). هذه النقطة هي منتصف \([BC]\).

2) أ) حساب IJ

• لدينا \(J\) هي مسقط \(I\) على \((OD)\) بموازاة \((AB)\). هذا يعني أن المستقيم \((IJ)\) يوازي المستقيم \((AB)\).
• بما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن \((AB) // (CD)\). إذن، نستنتج أن \((IJ) // (CD)\).
• نعتبر المثلث \(ODC\). لدينا \(I \in (OC)\) (لأن \(O, B, C\) على استقامة واحدة) و \(J \in (OD)\) و \((IJ) // (DC)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث \(ODC\): \(\frac{OI}{OC} = \frac{OJ}{OD} = \frac{IJ}{DC}\).
• نحسب الأطوال اللازمة: \(DC = AB = 9\). الترتيب هو \(I, B, C, O\). لدينا \(BO=2\) و \(BC=4\). إذن \(OC = OB+BC = 2+4 = 6\). ولدينا \(B\) منتصف \([OI]\)، إذن \(OI = 2 \times BO = 4\).
• نعوض في النسبة: \(\frac{4}{6} = \frac{IJ}{9}\).
• \(IJ = 9 \times \frac{4}{6} = 9 \times \frac{2}{3} = 6\). إذن \(IJ = 6\).

2) ب) بيّن أن (IM) // (AJ)

• لإثبات توازي المستقيمين، نثبت أن الرباعي \(AMJI\) هو متوازي أضلاع.
• من تعريف \(J\)، لدينا \((IJ) // (AB)\). وبما أن \(M \in (AB)\)، فإن \((IJ) // (AM)\).
• من السؤال السابق، حسبنا ووجدنا \(IJ = 6\).
• من معطيات التمرين، لدينا \(AM = 6\).
• الرباعي \(AMJI\) له ضلعان متقابلان \([AM]\) و \([JI]\) متوازيان ومتقايسان.
• إذن، الرباعي \(AMJI\) هو متوازي أضلاع. وبالتالي، فإن حامل الضلعين الآخرين متوازيان، أي \((IM) // (AJ)\).

3) حساب النسبة \(\frac{OG}{OK}\)

• لدينا \(G\) هي نقطة تقاطع \((OK)\) و \((IJ)\). إذن \(G \in (OK)\) و \(G \in (IJ)\).
• أثبتنا أن \((IJ) // (CD)\). بما أن \(K \in (CD)\)، فإن \((IJ)\) يوازي المستقيم الذي يحوي القطعة \([DK]\).
• نعتبر المثلث \(ODK\). لدينا \(G \in (OK)\) و \(J \in (OD)\). والمستقيم \((GJ)\) (وهو نفسه \((IJ)\)) يوازي المستقيم \((DK)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث \(ODK\): \(\frac{OG}{OK} = \frac{OJ}{OD}\).
• لحساب النسبة \(\frac{OJ}{OD}\)، نعود لنسبة طاليس التي استخدمناها في السؤال 2.أ: \(\frac{OJ}{OD} = \frac{OI}{OC}\).
• حسبنا ووجدنا \(OI = 4\) و \(OC = 6\).
• إذن، \(\frac{OJ}{OD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
• ومنه نستنتج أن \(\frac{OG}{OK} = \frac{2}{3}\).

ملاحظة: الأسئلة 4 و 5 تتطلب نظريات ومفاهيم هندسية متقدمة (مثل خصائص الدائرة المحيطة والمركز القائم) تتجاوز النطاق المباشر لمبرهنتي فيثاغورس وطاليس.