نعتبر مثلثا \(ABC\) قائما في \(A\) بحيث \(AB=6\) و \(AC=8\). \((\zeta)\) الدائرة التي مركزها \(I\) وقطرها \([AB]\) حيث تقطع \((BC)\) في \(B\) و \(H\).
- أحسب \(BH\) و \(CH\).
- المماس للدائرة \((\zeta)\) في \(B\) يقطع \((AH)\) في \(P\).
- بيّن أن \((AC) // (BP)\).
- أحسب \(BP\) و \(PH\).
- لتكن \(E\) صورة \(B\) بالتناظر المركزي الذي مركزه \(H\). المستقيمان \((EI)\) و \((AH)\) يتقاطعان في \(G\). بيّن أن \(G\) هو مركز ثقل المثلث \(ABE\).
- أحسب \(GH\) و \(EI\).
- المستقيم \((AE)\) يقطع الدائرة \((\zeta)\) في \(A\) و \(J\). المستقيم \((BJ)\) يقطع \((AH)\) في \(O\).
- بيّن أن \((AC) // (OE)\) ثم احسب \(OE\).
- استنتج أن الرباعي \(OEPB\) متوازي أضلاع.
- بيّن أن النقاط \(A, B, P, E\) تنتمي إلى نفس الدائرة.
الحل المفصل للتمرين 2
1) حساب BH و CH
المثلث ABC قائم في A. حسب مبرهنة فيثاغورس:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies BC = 10 \]
النقطة H تنتمي للدائرة \((\zeta)\) التي قطرها [AB]. إذن المثلث AHB هو مثلث محاط بدائرة و أحد أضلاعه قطر لها، فهو قائم الزاوية في H. إذن (AH) يعامد (BC). وبالتالي (AH) هو الارتفاع الصادر من A في المثلث ABC.
باستخدام العلاقات المترية في المثلث القائم ABC:
\[ AB^2 = BH \cdot BC \implies 36 = BH \cdot 10 \implies BH = 3.6 \]
\[ CH = BC - BH = 10 - 3.6 = 6.4 \]
2) أ) بيّن أن (AC) // (BP)
المستقيم (BP) هو المماس للدائرة \((\zeta)\) في النقطة B. إذن (BP) يعامد القطر [AB].
لدينا المثلث ABC قائم في A، إذن (AC) يعامد (AB).
بما أن المستقيمين (AC) و (BP) يعامدان نفس المستقيم (AB)، فإنهما متوازيان: (AC) // (BP).
2) ب) أحسب BP و PH
لدينا (AC) // (BP) والمستقيمان (AP) و (BC) قاطعان لهما.
بتطبيق مبرهنة طاليس (وضعية الفراشة) في المثلثين HAC و HBP:
\[ \frac{HA}{HP} = \frac{HC}{HB} = \frac{AC}{BP} \]
نحسب أولاً طول الارتفاع AH: \(AH \cdot BC = AB \cdot AC \implies AH \cdot 10 = 6 \cdot 8 \implies AH = 4.8\)
باستخدام النسبة:
\[ \frac{HC}{HB} = \frac{AC}{BP} \implies \frac{6.4}{3.6} = \frac{8}{BP} \implies BP = \frac{8 \times 3.6}{6.4} = 4.5 \]
\[ \frac{HA}{HP} = \frac{HC}{HB} \implies \frac{4.8}{HP} = \frac{6.4}{3.6} \implies HP = \frac{4.8 \times 3.6}{6.4} = 2.7 \]
3) بيّن أن G هو مركز ثقل المثلث ABE
E هي صورة B بالتناظر المركزي بالنسبة لـ H، إذن H هي منتصف [BE].
في المثلث ABE، المستقيم (AH) هو المستقيم الحامل للموسط [AH] (لأن H منتصف [BE]).
I هي مركز الدائرة ذات القطر [AB]، إذن I هي منتصف [AB].
في المثلث ABE، المستقيم (EI) هو المستقيم الحامل للموسط [EI] (لأن I منتصف [AB]).
G هي نقطة تقاطع (AH) و (EI)، وهما حاملا موسطين في المثلث ABE.
إذن، G هي مركز ثقل المثلث ABE.