تبيين أن \(\frac{IA}{IC} = \frac{2}{3}\):
في شبه المنحرف ABCD، القاعدتان \((AB)\) و \((DC)\) متوازيتان. نعتبر المثلثين IAB و ICD.
بما أن \((AB) \parallel (DC)\)، فإن حسب نظرية طاليس في المثلثين المتقابلين بالرأس:
\[ \frac{IA}{IC} = \frac{IB}{ID} = \frac{AB}{DC} \]
نعوض بالقيم المعطاة: \(AB=4\) و \(DC=6\).
\[ \frac{IA}{IC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
تبيين أن \(\frac{AC}{AI} = \frac{5}{2}\) و \(\frac{6}{IH} = \frac{5}{2}\):
- من النتيجة السابقة، \(\frac{IA}{IC} = \frac{2}{3}\). هذا يعني أن \(IC = \frac{3}{2}IA\).
بما أن I بين A و C، فإن \(AC = IA + IC = IA + \frac{3}{2}IA = (\frac{2}{2}+\frac{3}{2})IA = \frac{5}{2}IA\).
بقسمة الطرفين على \(IA\)، نحصل على:
\[ \frac{AC}{AI} = \frac{5}{2} \]
- لدينا H المسقط العمودي لـ I على (AD)، إذن \((HI) \perp (AD)\). وبما أن \((DC) \perp (AD)\)، فإن \((HI) \parallel (DC)\).
نطبق نظرية طاليس في المثلث ADC مع المستقيمين المتوازيين (HI) و (DC):
\[ \frac{AI}{AC} = \frac{HI}{DC} \]
نعلم أن \(\frac{AC}{AI} = \frac{5}{2}\)، إذن مقلوبها \(\frac{AI}{AC} = \frac{2}{5}\).
نعوض في علاقة طاليس: \(\frac{2}{5} = \frac{HI}{6}\).
نستنتج أن \(HI = \frac{2 \times 6}{5} = \frac{12}{5}\).
الآن، نحسب قيمة \(\frac{6}{IH}\):
\[ \frac{6}{IH} = \frac{6}{\frac{12}{5}} = 6 \times \frac{5}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \]
وهو المطلوب.
هل النقطة I تنتمي للدائرة \(\mathcal{C}\):
الدائرة \(\mathcal{C}\) قطرها \([AD]\). لكي تنتمي I للدائرة، يجب أن يكون المثلث AID قائم الزاوية في I.
لنتحقق من ذلك باستخدام نظرية فيتاغورس العكسية: هل \(AI^2 + ID^2 = AD^2\)؟
- \(AD^2 = (4,8)^2 = 23,04\).
- نحسب \(AI\): في المثلث ADC القائم في D، \(AC^2 = AD^2 + DC^2 = (4,8)^2 + 6^2 = 23,04 + 36 = 59,04\).
لدينا \(\frac{AI}{AC} = \frac{2}{5} \implies AI = \frac{2}{5}AC\). إذن \(AI^2 = (\frac{2}{5})^2 AC^2 = \frac{4}{25} \times 59,04 = 9,4464\).
- نحسب \(ID\): في المثلث ABD القائم في A، \(DB^2 = AD^2 + AB^2 = (4,8)^2 + 4^2 = 23,04 + 16 = 39,04\).
لدينا \(\frac{IB}{ID} = \frac{2}{3} \implies \frac{ID}{DB} = \frac{3}{5} \implies ID = \frac{3}{5}DB\). إذن \(ID^2 = (\frac{3}{5})^2 DB^2 = \frac{9}{25} \times 39,04 = 14,0544\).
- نجمع: \(AI^2 + ID^2 = 9,4464 + 14,0544 = 23,5008\).
- نقارن: \(23,5008 \neq 23,04\).
بما أن \(AI^2 + ID^2 \neq AD^2\)، فالمثلث AID ليس قائمًا في I، وبالتالي النقطة I لا تنتمي إلى الدائرة \(\mathcal{C}\).