حساب AG:
المثلث ADG قائم في D. حسب نظرية فيتاغورس:
\[ AG^2 = AD^2 + DG^2 = (2\sqrt{6})^2 + 4^2 = (4 \times 6) + 16 = 24 + 16 = 40 \]
\[ AG = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
الرباعي AGFE والرباعي GEFH:
- تبيين أن AGFE معين:
لدينا I منتصف \([AF]\) (معطى) و E مناظرة G بالنسبة لـ I، أي I منتصف \([GE]\).
إذن الرباعي AGFE له قطران يتقاطعان في منتصفهما، فهو متوازي أضلاع.
نقارن طولي ضلعين متجاورين: \(AG = 2\sqrt{10}\) (من السؤال 1) و \(GF = 2\sqrt{10}\) (معطى).
بما أن \(AG=GF\)، فإن متوازي الأضلاع AGFE هو معين.
- تبيين أن GEFH متوازي أضلاع واستنتاج منتصف [AH]:
ملاحظة وتحليل: يوجد خلل في هذا الجزء من السؤال.
لدينا \((HF)\) هو المستقيم العمودي على \((AF)\) في F. وفي المعين AGFE، القطران متعامدان، أي \((GE) \perp (AF)\).
بما أن \((HF) \perp (AF)\) و \((GE) \perp (AF)\)، فهذا يثبت أن المستقيمين \((HF)\) و \((GE)\) متوازيان.
لكي يكون GEFH متوازي أضلاع، يجب أن نثبت أن \((GH) \parallel (EF)\)، ولكن لا توجد معطيات كافية لإثبات ذلك. تعريف النقطة H كتقاطع \((BG)\) مع العمودي على \((AF)\) لا يوفر علاقة توازي بين \((GH)\) و \((EF)\).
لا يمكن إثبات أن GEFH متوازي أضلاع ولا استنتاج شيء حول منتصف [AH] بالمعطيات الحالية.
أ- تبيين أن المثلث BFG قائم الزاوية:
المعطيات الجديدة هي: \(BF=2\sqrt{15}\) و \(BG=10\). ولدينا \(GF=2\sqrt{10}\).
نحسب مربعات الأطوال:
\[ BF^2 = (2\sqrt{15})^2 = 4 \times 15 = 60 \]
\[ GF^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \times 10 = 40 \]
\[ BG^2 = 10^2 = 100 \]
نلاحظ أن \(BF^2 + GF^2 = 60 + 40 = 100\).
بما أن \(BF^2 + GF^2 = BG^2\)، فإنه حسب نظرية فيتاغورس العكسية، المثلث BFG قائم الزاوية في F.
ب- و ج-: لا يمكن حل هذين السؤالين لأن النقطة B غير محددة بدقة على الشعاع \([AG)\). كذلك، تعريف النقطة H يعتمد على B، وتعريف L يعتمد على H و K (التي لم تُعرّف). تعريف C يعتمد على B. إذن بقية المسألة تعتمد على معطيات ناقصة.